奇偶檢驗矩陣

Template:NoteTA在编码理论裡，線性區塊碼 C 的奇偶檢驗矩陣（Template:Lang-en）是描述Template:Le的成分间必须满足的线性关系的一个矩阵。它可以用来决定一个特定向量是否为码字，也用在译码算法中。

定义

形式上，线性码 C 的奇偶檢驗矩陣 H 是对偶码 C^⊥ 的生成矩阵。这就意味着当且仅当矩阵-向量乘积 Template:Nowrap（一些作者会写成其等价形式cH^⊤ = 0）时，码字 c 才会在 C 中。

奇偶檢驗矩陣的行是奇偶检验方程的系数。 也就是說，它們表示每个碼字中的某些數字（成分）如何線性組合可以等於零。例如，奇偶檢驗矩陣

$H=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0\end{array}\right]$,

紧凑表示了向量 $(c_1,c_2,c_3,c_4)$ 要成为 C 的码字必须满足的奇偶检验方程，

$\begin{array}{cc}{c}_3+c_4& =0\\ c_1+c_2& =0\end{array}$.

根据定义，奇偶检验矩阵直接遵循该码的最小距离为，使得奇偶检验矩阵 H 的任意 d - 1 列都线性无关并且存在 d 列线性相关的最小数 d。

建立奇偶檢驗矩陣

某一给定碼的奇偶校驗矩陣可以从其生成矩阵导出（反之亦然）。 若一 [n,k] 码的生成矩陣是標準形式

$G=\left[\begin{array}{c}{I}_k|P\end{array}\right]$,

则奇偶檢驗矩陣为

$H=\left[\begin{array}{c}-P^{\mathrm{\top }}|I_{n-k}\end{array}\right]$,

因為

$G{H}^{\mathrm{\top }}=P-P=0$.

取反是在有限域 F_q 内进行的。注意如果所处的域的特征为 2（即在这个域中 1 + 1 = 0），如在Template:Le中一样，因此 -P = P，所以取反是不需要的。

例如，如果一个二元码的生成矩阵

$G=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 1& 0\end{array}\right]$,

则其奇偶檢驗矩陣就是

$H=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$.

伴随式

对向量空间环境中的任意（行）向量 x，s = Hx^⊤ 称为 x 的Template:Le。当且仅当 s = 0 时向量 x 为码字。计算伴随式是Template:Le算法的基础。

参见

• 汉明码

參考文獻

• Template:Cite book
• Template:Citation
• Template:Citation
• Template:Cite book