高斯和

在數論中，高斯和是一種單位根的有限和，可抽象地表為

$G(\chi ,\psi )=\sum _{r\in R}\chi (r)\psi (r)$

其中 $R$ 為有限交換環，$\psi :(R,+)\to {𝕊}^1$ 為同態，$\chi :(R^{\times },*)\to {𝕊}^1$ 亦為同態，對於 $r\notin R^{\times }$，可定義 $\chi (r)=0$。

這類有限和常見於代數數論與解析數論。此時通常取 $R:=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，特徵 $\psi$ 必為 $\psi (x)=e^{2\pi i\alpha x/n}$ 之形式（$\alpha \in \mathbb{Z}$），此處的 $\chi$ 不外是一個狄利克雷特徵。這類高斯和有時也記為 ${\tau }_{\alpha }(\chi )$，出現於狄利克雷L函數的函數方程中。

高斯和的絕對值可透過抽象調和分析的方法導出，其確切值則較難確定。高斯首先算出了二次高斯和，此時取 $R=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，其中 $p$ 為素數，並取 $\chi (x):=\left(\frac{x}{p}\right)$ 為勒讓德符號。高斯和遂化為下述指數和：

${\tau }_{\alpha }=\sum _{x=0}^{p-1}{e}^{2\pi i\alpha x^2/p}$

高斯得到的結果是：

${\tau }_{\alpha }=\{\begin{array}{cc}\left(\frac{\alpha }{p}\right)\sqrt{p},& p\equiv 1mod4\\ \left(\frac{\alpha }{p}\right)i\sqrt{p},& p\equiv 3mod4\end{array}$

由此可導出二次互反律的一種證明；二次高斯和也與Theta 函數理論相關。

文獻

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