沙滕范数

泛函分析中，沙滕范数（Schatten norm，或沙滕–冯·诺依曼范数，Schatten–von-Neumann norm）来自p-可积的推广，与迹类范数、希尔伯特-施密特范数相似。

定义

令$H_1,H_2$是希尔伯特空间，$T:H_1\to H_2$是（线性）有界算子。对$p\in [1,\mathrm{\infty })$，定义T的沙滕p-范数为

$\Vert T{\Vert }_p=[\mathrm{Tr}(|T{|}^p){]}^{1/p},$

其中$|T|:=\sqrt{(T^{*}T)}$，平方根是算子平方根。

若T是紧的、$H_1,H_2$可分离，则

$\Vert T{\Vert }_p:=(\sum _{n\ge 1}{s}_n^p(T){)}^{1/p}$

T的奇异值（即厄米算子$|T|:=\sqrt{(T^{*}T)}$的特征值）满足$s_1(T)\ge s_2(T)\ge \cdots \ge s_n(T)\ge \cdots \ge 0$。

性质

下面将p的范围推广到$[1,\mathrm{\infty }]$，$\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$表示算子范数。指标$p=\mathrm{\infty }$的对偶是$q=1$。

• 沙滕范数是酉不变的：对酉算子U、V、$p\in [1,\mathrm{\infty }]$，

$\Vert UTV{\Vert }_p=\Vert T{\Vert }_p.$

• 它们满足赫尔德不等式：$\mathrm{\forall }p\in [1,\mathrm{\infty }],q$使得$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，以及定义在希尔伯特空间之间的算子$S\in ℒ(H_2,H_3),T\in ℒ(H_1,H_2)$，

$\Vert ST{\Vert }_1\le \Vert S{\Vert }_p\Vert T{\Vert }_q.$

若$p,q,r\in [1,\mathrm{\infty }]$满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$，则

$\Vert ST{\Vert }_r\le \Vert S{\Vert }_p\Vert T{\Vert }_q$.

赫尔德不等式的这后一个形式有更一般情形的证明（对非交换$L^p$空间，而非沙滕-p类。对于矩阵，见）。

• 子乘性：$\mathrm{\forall }p\in [1,\mathrm{\infty }]$、定义在希尔伯特空间$H_1,H_2,H_3$之间的算子$S\in ℒ(H_2,H_3),T\in ℒ(H_1,H_2)$，

$\Vert ST{\Vert }_p\le \Vert S{\Vert }_p\Vert T{\Vert }_p.$

• 单调性：对于$1\le p\le p^{\prime }\le \mathrm{\infty }$，

$\Vert T{\Vert }_1\ge \Vert T{\Vert }_p\ge \Vert T{\Vert }_{p^{\prime }}\ge \Vert T{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$

• 对偶性：令$H_1,H_2$为有限维希尔伯特空间，$p\in [1,\mathrm{\infty }]$，q满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则

$\Vert S{\Vert }_p=\sup \{|⟨S,T⟩|\mid \Vert T{\Vert }_q=1\},$

其中$⟨S,T⟩=\mathrm{tr}(S^{*}T)$表示希尔伯特-施密特算子。

• 令$(e_k{)}_k,(f_{k^{\prime }}{)}_{k^{\prime }}$为希尔伯特空间$H_1,H_2$的两个正交基，则对$p=1$

$\Vert T{\Vert }_1\le \sum _{k,k^{\prime }}\left|T_{k,k^{\prime }}\right|.$

备注

注意$\Vert \cdot {\Vert }_2$是希尔伯特-施密特范数（见希尔伯特-施密特算子），$\Vert \cdot {\Vert }_1$是迹类范数（见迹类算子），$\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$是算子范数（见算子范数）。 对$p\in (0,1)$，函数$\Vert \cdot {\Vert }_p$是拟赋范空间的例子。

具有有限沙滕范数的算子称作沙滕类算子，其空间记作$S_p(H_1,H_2)$。此范数下$S_p(H_1,H_2)$是巴拿赫空间，对$p=2$是希尔伯特空间。

注意$S_p(H_1,H_2)\subseteq 𝒦(H_1,H_2)$，后者即紧算子代数。这是因为，若和有限，则谱也有限或至多是可数无穷多，且以原点为极限点，因此是紧算子。

$p=1$情形常称作核范数（或迹范数、樊𰋀n-范数）。

另见

矩陣範數#Schatten 范数

参考文献

• Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
• Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.