赫尔德不等式

Template:NoteTA 赫爾德不等式是數學分析的一條不等式，取名自德國數學家奧托·赫爾德。這是一條揭示L^p空間的相互關係的基本不等式：

設$S$為測度空間，$1\le p,q\le \mathrm{\infty }$，及$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，設$f$在$L^p(S)$內，$g$在$L^q(S)$內。則$fg$在$L^1(S)$內，且有

$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q,$

等号当且仅当$|f{|}^p$与$|g{|}^q$（幾乎處處）线性相关时取得，即有常數$\alpha ,\beta$使得$\alpha |f(x){|}^p=\beta |g(x){|}^q$對幾乎所有$x\in S$成立。

若$S$取作$\{1,...,n\}$附計數測度，便得赫爾德不等式的特殊情形：對所有實數（或複數）$x_1,...,x_n;y_1,...,y_n$，有

$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q)}^{1/q}$。

我们称p和q互为赫尔德共轭。

若取$S$為自然數集附計數測度，便得與上類似的無窮級數不等式。

當$p=q=2$，便得到柯西-施瓦茨不等式。

赫爾德不等式可以證明$L^p$空間上一般化的三角不等式，閔可夫斯基不等式，和證明$L^p$空間是$L^q$空間的對偶。

备注

• 在赫尔德共轭的定义中，1/∞意味着零。

• 如果1 ≤ p，q < ∞，那么||f ||_p和||g||_q表示（可能无穷的）表达式：

$(\underset{S}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu {)}^{1/p}$   以及   $(\underset{S}{\int }|g{|}^q\mathrm{d}\mu {)}^{1/q}.$

• 如果p = ∞，那么||f ||_∞表示|f |的本性上确界，||g||_∞也类似。

• 在赫尔德不等式的右端，0乘以∞以及∞乘以0意味着 0。把a > 0乘以∞，则得出 ∞。

证明

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f ||_p = 0，那么f μ-几乎处处为零，且乘积fg μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||_q = 0也是这样。因此，我们可以假设||f ||_p > 0且||g||_q > 0。

如果||f ||_p = ∞或||g||_q = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f ||_p和||g||_q位于(0,∞)内。

如果p = ∞且q = 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f ||_∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p = 1和q = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p, q ∈ (1,∞)。

分别用f和g除||f ||_p||g||_q，我们可以假设：

$\Vert f{\Vert }_p=\Vert g{\Vert }_q=1.$

我们现在使用杨氏不等式：

$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q},$

对于所有非负的a和b，当且仅当a^p = b^q时等式成立。因此：

$|f(s)g(s)|\le \frac{|f(s){|}^p}{p}+\frac{|g(s){|}^q}{q},s\in S.$

两边积分，得：

$\Vert fg{\Vert }_1\le 1,$

这便证明了赫尔德不等式。

在p ∈ (1,∞)和||f ||_p = ||g||_q = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有|f |^p = |g|^q。更一般地，如果||f ||_p和||g||_q位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α, β > 0（即α = ||g||_q且β = ||f ||_p），使得：

$\alpha |f{|}^p=\beta |g{|}^q$   μ-几乎处处   (*)

||f ||_p = 0的情况对应于(*)中的β = 0。||g||_q =0 的情况对应于(*)中的α = 0。

反向赫尔德不等式

当$0<p<1$时，$\Vert \cdot {\Vert }_p$不再满足三角不等式，此时成立反向赫尔德不等式(Reverse Hölder inequality):

$\Vert fg{\Vert }_1\ge \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$

参考文献

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