正弦-戈尔登方程

钟形孤立子

正弦-戈尔登方程是十九世纪发现的一种偏微分方程：

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}=\sin \phi$

來自下面的拉量：

$ℒ=\frac{1}{2}({\phi }_t^2-{\phi }_x^2)+\cos \phi$

由于正弦-戈尔登方程有多种孤立子解而倍受瞩目。

名字是物理家熟悉的克莱因-戈尔登方程（Klein-Gordon）的雙關語。

孤立子解

利用分离变数法可得正弦-戈尔登方程的多种孤立子解。

扭型孤立子

$p1:=-4\ast arctan((1/2)\ast (1.5\ast exp(-4\ast sqrt(2))-exp(2\ast x\ast sqrt(2)))\ast exp(t-2-x\ast sqrt(2)+2\ast sqrt(2))\ast sqrt(2)/(1.5\ast exp(-4)+exp(2\ast t)))$

$p2:=-4\ast arctan((1/2)\ast (1.5\ast exp(2\ast x\ast sqrt(2))-exp(-4\ast sqrt(2)))\ast exp(t-2-x\ast sqrt(2)+2\ast sqrt(2))\ast sqrt(2)/(1.5\ast exp(2\ast t)+exp(-4)))$

Sine-Gordon kink soliton plot1

Sine-Gordon kink soliton plot2

钟型孤立子

正弦-戈尔登方程有如下孤立子解：

${\phi }_{\text{soliton}}(x,t):=4\arctan e^{m\gamma (x-vt)+\delta }$

其中

${\gamma }^2=\frac{1}{1-v^2}.$

顺时针孤立子

反时针孤立子

双孤立子解

$px1:=(8\ast (1.5\ast exp(-4)+exp(2\ast t)))\ast exp(t-2-x\ast sqrt(2)+2\ast sqrt(2))\ast (exp(2\ast x\ast sqrt(2))+1.5\ast exp(-4\ast sqrt(2)))/(4.50\ast exp(-8)+2\ast exp(4\ast t)+2.25\ast exp(2\ast t-4-2\ast x\ast sqrt(2)-4\ast sqrt(2))+3.0\ast exp(2\ast t-4)+exp(2\ast t-4+2\ast x\ast sqrt(2)+4\ast sqrt(2)))$

$px2:=-(8\ast (1.5\ast exp(2\ast t)+exp(-4)))\ast exp(t-2-x\ast sqrt(2)+2\ast sqrt(2))\ast (1.5\ast exp(2\ast x\ast sqrt(2))+exp(-4\ast sqrt(2)))/(4.50\ast exp(4\ast t)+2\ast exp(-8)+2.25\ast exp(2\ast t-4+2\ast x\ast sqrt(2)+4\ast sqrt(2))+3.0\ast exp(2\ast t-4)+exp(2\ast t-4-2\ast x\ast sqrt(2)-4\ast sqrt(2)))$

Sine-Gordon colliding soltons plot1

Sine-Gordon colliding soltons plot2

Sine-Gordon bright & dark solitons plot1

& dark solitons plot2

扭型与反扭型碰撞

扭型-扭型碰撞

驻波呼吸子

大振幅行波呼吸子 小振幅呼吸子

三孤立子解

扭型行波呼吸子与驻波呼吸子碰撞

反扭型行波呼吸子与驻波波呼吸子碰撞

呼吸子解

正弦-戈尔登方程的呼吸子解

$u=4\arctan \left(\frac{\sqrt{1-{\omega }^2}\cos (\omega t)}{\omega \cosh (\sqrt{1-{\omega }^2}x)}\right),$

$pz1:=4\ast arctan((28.460498941515413988\ast (exp(1.8973665961010275992\ast x)+sqrt(exp(3.7947331922020551984\ast x))))\ast sin(OmegaT)\ast csgn(1/cos(OmegaT))\ast exp(-.94868329805051379960\ast x)/(18.+5.\ast exp(1.8973665961010275992\ast x)))$

$pz2:=4\ast arctan((28.460498941515413988\ast (exp(1.8973665961010275992\ast x)+sqrt(exp(3.7947331922020551984\ast x))))\ast sin(OmegaT)\ast csgn(1/cos(OmegaT))\ast exp(-.94868329805051379960\ast x)/(18.+5.\ast exp(1.8973665961010275992\ast x)))$

Sine-Gordon breather plot1

Sine-Gordon breather plot2

几何解释

三维欧几里德空间的负常曲率曲面

根據陳省身的研究，正弦-戈尔登方程有一个几何解释：三维欧几里德空间的负常曲率曲面（偽球面）。

正弦-戈尔登方程是：

${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}=\sinh \phi$

跟Template:Le有關。

量子場論

正弦-戈尔登是Template:Le的S對偶。

半經典量子化：

參見

• 瞬子
• 孤子
• 統計場論的Coulomb氣體

閱讀

• Bour E (1862). "Théorie de la déformation des surfaces" Template:Wayback. J. Ecole Imperiale Polytechnique. 19: 1–48.
• Rajaraman, R. (1989). Solitons and Instantons: An Introduction to Solitons and Instantons in Quantum Field Theory. North-Holland Personal Library. 15. North-Holland. pp. 34–45. ISBN 978-0-444-87047-6.
• Polyanin, Andrei D.; Valentin F. Zaitsev (2004). Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Chapman & Hall/CRC Press. pp. 470–492. ISBN 978-1-58488-355-5.
• Dodd, Roger K.; J. C. Eilbeck, J. D. Gibbon, H. C. Morris (1982). Solitons and Nonlinear Wave Equations. London: Academic Press. ISBN 978-0-12-219122-0.
• Georgiev DD, Papaioanou SN, Glazebrook JF (2004). "Neuronic system inside neurons: molecular biology and biophysics of neuronal microtubules". Biomedical Reviews 15: 67–75.
• Georgiev DD, Papaioanou SN, Glazebrook JF (2007). "Solitonic effects of the local electromagnetic field on neuronal microtubules". Neuroquantology 5 (3): 276–291.