偽球面

偽球面（Template:Lang-en，又譯擬球面）是幾何學中高斯曲率恆為負的平面。一半徑$R$的偽球面，是${ℝ}^3$中每點高斯曲率均為$-1/R^2$的平面。偽球面這個名稱是類比半徑$R$的球面（曲率$1/R^2$的平面），由贝尔特拉米於1868年雙曲幾何模型的論文提出。 其為曳物線繞其漸近線的旋轉曲面。

旋轉跟蹤曲面（Template:Lang）

定义

对于$xOz$平面上的曳物线，其参数方程为$(x,z)=(t-\tanh (t),\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(t)),0\le t<\mathrm{\infty }$.

当其绕z轴旋转一圈时，根据旋转曲面的一般参数方程，可得到曲面标准参数方程：

$\{\begin{array}{c}x=(t-\tanh (t))\cdot \cos (\theta ),\\ y=(t-\tanh (t))\cdot \sin (\theta ),\\ z=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(t).\end{array}$ 其中 $0\le \theta \le 2\pi ,0\le t<\mathrm{\infty }$.

该方程即为曳物面方程，又称伪球面方程。

性质

伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为奇点) 。但在奇点外，它具有恒定的负高斯曲率，因此局部等距于双曲面。

“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面，和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的球面几何一样，伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的双曲几何。

早在1693年，惠更斯(Christiaan Huygens)就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R，伪球的表面积是$4\pi R^2$，和同半径·球面相同。