正則變換生成函數

Template:NoteTA 在哈密頓力學裏，當計算正則變換時，生成函數扮演的角色，好似在兩組正則坐標 $(𝐪,𝐩)$ ，$(𝐐,𝐏)$ 之間的一座橋。為了要保證正則變換的正確性 ，採取一種間接的方法，稱為生成函數方法。這兩組變數必須符合方程式

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}=𝐏\cdot \dot{𝐐}-𝒦+\frac{dG}{dt}$ ；(1)

其中，$𝐪=(q_1,q_2,\dots ,q_N)$ 是舊廣義坐標，$𝐩=(p_1,p_2,\dots ,p_N)$ 是舊廣義動量，$𝐐=(Q_1,Q_2,\dots ,Q_N)$ 是新廣義坐標，$𝐏=(P_1,P_2,\dots ,P_N)$ 是新廣義動量，$\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t),𝒦(𝐐,𝐏,t)$ 分別為舊哈密頓量與新哈密頓量，$G(-,-,t)$ 是生成函數，$t$ 是時間。

生成函數 $G$ 的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種不同的變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換 $(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$ 保證是正則變換。

生成函數列表

生成函數	導數
$G=G_1(𝐪,𝐐,t)$	$𝐩=\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪},𝐏=-\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}$
$G=G_2(𝐪,𝐏,t)-𝐐𝐏$	$𝐩=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐪},𝐐=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}$
$G=G_3(𝐩,𝐐,t)+𝐪𝐩$	$𝐪=-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐩},𝐏=-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐐}$
$G=G_4(𝐩,𝐏,t)+𝐪𝐩-𝐐𝐏$	$𝐪=-\frac{\partial G_4}{\partial 𝐩},𝐐=\frac{\partial G_4}{\partial 𝐏}$

第一型生成函數

第一型生成函數 $G_1$ 只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，

$G=G_1(𝐪,𝐐,t)$ 。

代入方程式 (1) 。展開生成函數對於時間的全導數，

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)=𝐏\cdot \dot{𝐐}-𝒦(𝐐,𝐏,t)+\frac{\partial G_1}{\partial t}+\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}\cdot \dot{𝐪}+\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}\cdot \dot{𝐐}$ 。

新廣義坐標 $𝐐$ 和舊廣義坐標 $𝐪$ 都是自變量，其對於時間的全導數 $\dot{𝐐}$ 和 $\dot{𝐪}$ 互相無關，所以，以下 $2N+1$ 個方程式都必須成立：

$𝐩=\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}$ ，(2)

$𝐏=-\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}$ ，(3)

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_1}{\partial t}$ 。(4)

這 $2N+1$ 個方程式設定了變換 $(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$ ，步驟如下：

第一組的 $N$ 個方程式 (2) ，設定了 $𝐩$ 的 $N$ 個函數方程式

$𝐩=𝐩(𝐪,𝐐,t)$ 。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 $𝐐$ 的 $N$ 個函數方程式

$𝐐=𝐐(𝐪,𝐩,t)$ 。(5)

第二組的 $N$ 個方程式 (3) ，設定了 $𝐏$ 的 $N$ 個函數方程式

$𝐏=𝐏(𝐪,𝐐,t)$ 。

代入函數方程式 (5) ，可以算出 $𝐏$ 的 $N$ 個函數方程式

$𝐏=𝐏(𝐪,𝐩,t)$ 。(6)

從 $2N$ 個函數方程式 (5) 、(6) ，可以逆算出 $2N$ 個函數方程式

$𝐪=𝐪(𝐐,𝐏,t)$ ，

$𝐩=𝐩(𝐐,𝐏,t)$ 。

代入新哈密頓量 $𝒦$ 的方程式 (4) ，可以得到

$𝒦=𝒦(𝐐,𝐏,t)$ 。

第二型生成函數

第二型生成函數 $G_2$ 只跟舊廣義坐標 $𝐪$ 、新廣義動量 $𝐏$ 有關 ：

$G\equiv -𝐐\cdot 𝐏+G_2(𝐪,𝐏,t)$ ；

代入方程式 (1) 。展開生成函數隨時間的全導數：

$𝐩\cdot \dot{𝐪}-\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)=-𝐐\cdot \dot{𝐏}-𝒦(𝐐,𝐏,t)+\frac{\partial G_2}{\partial t}+\frac{\partial G_2}{\partial 𝐪}\cdot \dot{𝐪}+\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}\cdot \dot{𝐏}$ 。

由於舊廣義坐標 $𝐪$ 與新廣義動量 $𝐏$ 必須彼此無關，以下 $2N+1$ 方程式必須成立：

$𝐩=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐪}$ ，(7)　

$𝐐=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}$ ，(8)

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_2}{\partial t}$ 。(9)

這 $2N+1$ 個方程式設定了變換 $(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$ 。步驟如下：

第一組的 $N$ 個方程式 (7) ，設定了 $𝐩$ 的函數方程式

$𝐩=𝐩(𝐪,𝐏,t)$ 。

在理想情況下，這些方程式可以逆算出 $𝐏$ 的函數方程式

$𝐏=𝐏(𝐪,𝐩,t)$ 。(10)

第二組的 $N$ 個方程式 (8) ，設定了的函數方程式

$𝐐=𝐐(𝐪,𝐏,t)$ 。

代入函數方程式 (10) ，可以算出 $𝐐$ 函數方程式

$𝐐=𝐐(𝐪,𝐩,t)$ 。(11)

由函數方程式 (10) 、(11) ，可以算出函數方程式

$𝐪=𝐪(𝐐,𝐏,t)$ ，

$𝐩=𝐩(𝐐,𝐏,t)$ 。

代入新哈密頓量的方程式 (9) ，則可得到

$𝒦=𝒦(𝐐,𝐏,t)$ 。

第三型生成函數

第三型生成函數只跟舊廣義動量 $𝐩$ 、新廣義坐標 $𝐐$ 有關：

$G\equiv 𝐪\cdot 𝐩+G_3(𝐩,𝐐,t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$ ：

$𝐪=-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐩}$ ，

$𝐏=-\frac{\partial G_3}{\partial 𝐐}$ ，

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_3}{\partial t}$ 。

第四型生成函數

第四型生成函數 $G_4(𝐩,𝐏,t)$ 只跟舊廣義動量 $𝐩$ 、新廣義動量 $𝐏$ 有關：

$G\equiv 𝐪\cdot 𝐩-𝐐\cdot 𝐏+G_4(𝐩,𝐏,t)$ 。

以下 $2N+1$ 方程式設定了變換 $(𝐪,𝐩)\to (𝐐,𝐏)$ ：

$𝐪=-\frac{\partial G_4}{\partial 𝐩}$ ，

$𝐐=\frac{\partial G_4}{\partial 𝐏}$ ，

$𝒦=\mathscr{H}+\frac{\partial G_4}{\partial t}$ 。

實例 1

第一型生成函數有一個特別簡易案例：

$G_1\equiv 𝐪\cdot 𝐐$ 。

方程式 (2) ，(3) ，(4) 的答案分別為

$𝐩=\frac{\partial G_1}{\partial 𝐪}=𝐐$ ，

$𝐏=-\frac{\partial G_1}{\partial 𝐐}=-𝐪$ ，

$𝒦(𝐐,𝐏,t)=\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$ 。

實例 2

再擧一個涉及第二型生成函數，比較複雜的例子。讓

$G_2\equiv 𝐠(𝐪;t)\cdot 𝐏$ ；

這裏， $𝐠$ 是一組 $N$ 個函數。

答案是一個廣義坐標的點變換，

$𝐐=\frac{\partial G_2}{\partial 𝐏}=𝐠(𝐪;t)$ 。

實例 3

有時候，可以將一個給定的哈密頓量，變成一個很像諧振子的哈密頓量，

$\mathscr{H}=a{P}^2+b{Q}^2$ 。

例如，假若哈密頓量為

$\mathscr{H}=\frac{1}{2q^2}+\frac{p^2{q}^4}{2}$ ；(12)

這裏，$p$ 是廣義動量，$q$ 是廣義坐標。

一個優良的正則變換選擇是

$P=p{q}^2$ ，(13)

$Q=-\frac{1}{q}$ 。(14)

代入方程式 (12) ，新哈密頓量的形式與諧振子的哈密頓量型式相同：

$\mathscr{H}=\frac{Q^2}{2}+\frac{P^2}{2}$

這變換用的是第三型生成函數 $G_3(p,Q)$ ；其對於 $Q$ 的導數是

$\frac{\partial G_3}{\partial Q}=-P$ 。

代入方程式 (13) 、(14) ，

$\frac{\partial G_3}{\partial Q}=-\frac{p}{Q^2}$ 。

對於 $Q$ 積分，可以得到生成函數 $G_3$ ：

$G_3(p,Q)=\frac{p}{Q}$ 。

最後，檢查答案是否正確：

$q=-\frac{\partial G_3}{\partial p}=\frac{-1}{Q}$ 。

參閱

• 哈密頓-亞可比方程式
• 帕松括號
• 正則變換列表

參考文獻

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