機率流

Template:Unreferenced Template:NoteTA Template:量子力学

在量子力學裏，機率流，又稱為機率通量，是描述機率密度流動的物理量。假若將機率密度想像為非均勻流體，那麼，機率流就是這流體的流率（機率密度乘以速度）。

定義

在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。設定一個量子系統的波函數為 $\mathrm{\Psi }(x,t)$ 。定義機率流 $𝐉$ 為

$𝐉\stackrel{def}{=}\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})=\frac{\hslash }{m}\text{Im}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi })$ ；

其中，$\hslash$ 是約化普朗克常數，$m$ 是質量，${\mathrm{\Psi }}^{*}$ 是 $\mathrm{\Psi }$ 是共軛複數，$\text{Im}()$ 是取括弧內項目的虛部。

連續方程式與機率保守定律

機率流滿足量子力學的連續方程式：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$ ；

其中，$\rho =|\mathrm{\Psi }{|}^2$ 是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示，

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝕍}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^2{\mathrm{d}}^{3}r+{\oint }_{𝕊}𝐉\cdot \mathrm{d}𝐚=0$ ；(1)

其中，$𝕍$ 是任意三維區域，$𝕊$ 是 $𝕍$ 的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式 (1) 左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 $𝕍$ 內的機率。第二個曲面積分是機率流出 $𝕍$ 的通量。總之，方程式 (1) 表明，粒子在三維區域 $𝕍$ 內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 $𝕍$ 的通量，兩者的總和等於零。

連續方程式導引

測量粒子在三維區域 $𝕍$ 內的機率 $P$ 是

$P=\underset{𝕍}{\int }\rho {\mathrm{d}}^3𝐫=\underset{𝕍}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^2{\mathrm{d}}^3𝐫$ 。

機率對於時間的導數是

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\underset{𝕍}{\int }|\mathrm{\Psi }{|}^2{\mathrm{d}}^{3}r=\underset{𝕍}{\int }(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}{\mathrm{\Psi }}^{*}+\mathrm{\Psi }\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{*}}{\partial t}){\mathrm{d}}^{3}r$ ；(2)

假設 $\mathrm{\Psi }$ 的含時薛丁格方程式為

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=\frac{-{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }+U\mathrm{\Psi }$ ；

其中，$U(𝐫)$ 是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式 (2) ，可以得到

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-\underset{𝕍}{\int }\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}){\mathrm{d}}^{3}r$ 。

應用一則向量恆等式，可以得到

$\mathrm{\nabla }\cdot ({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})=\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*}\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }+{\mathrm{\Psi }}^{*}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\cdot \mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*}-\mathrm{\Psi }{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\Psi }}^{*}$ 。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入，

$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}=-\underset{𝕍}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot \left[\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}^{*}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Psi }}^{*})\right]{\mathrm{d}}^{3}r$ 。

將機率密度方程式與機率流定義式代入，

$\underset{𝕍}{\int }\frac{\partial \rho }{\partial t}{\mathrm{d}}^{3}r=-\underset{𝕍}{\int }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉){\mathrm{d}}^{3}r$ 。

這相等式對於任意三維區域 $𝕍$ 都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零：

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉=0$ 。

範例

平面波

設定一個粒子的波函數 $\mathrm{\Psi }$ 為三維空間的平面波，

$\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=A{e}^{i𝐤\cdot 𝐫}{e}^{i\omega t}$ ；

其中，$A$ 是振幅常數，$𝐤$ 是波數，$𝐫$ 是位置，$\omega$ 是角頻率，$t$ 是時間。

$\mathrm{\Psi }$ 的機率流是

$𝐉=\frac{\hslash }{2mi}|A{|}^2(e^{-i𝐤\cdot 𝐫}\mathrm{\nabla }{e}^{i𝐤\cdot 𝐫}-e^{i𝐤\cdot 𝐫}\mathrm{\nabla }{e}^{-i𝐤\cdot 𝐫})=|A{|}^2\frac{\hslash 𝐤}{m}$ 。

這只是振幅的平方乘以粒子的速度 $𝐯=\frac{𝐩}{m}=\frac{\hslash 𝐤}{m}$ 。

請注意，雖然這平面波是定態，在每一個的地點，$\frac{d|\mathrm{\Psi }{|}^2}{dt}=0$ ，但是機率流仍舊不等於 $0$ 。因此可以推論，雖然機率密度不顯性地跟時間有關，粒子仍可能移動於空間中。

盒中粒子

一維盒子位勢，即一個無限深方形阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。

思考一維盒中粒子問題，能級為 $E_n$ 的本徵波函數 ${\mathrm{\Psi }}_n$ 是

${\mathrm{\Psi }}_n=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right),0\le x\le L$ ；

其中，$L$ 是一維盒子的寬度，兩扇盒壁的位置分別在 $x=0$ 與 $x=L$ 。

由於 ${\mathrm{\Psi }}_n={\mathrm{\Psi }}_n^{*}$ ，其機率流為

$J_n=\frac{\hslash }{2mi}({\mathrm{\Psi }}_n^{*}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n}{\partial x}-{\mathrm{\Psi }}_n\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_n^{*}}{\partial x})=0$ 。

參閱

• 階梯位勢
• 透射係數