格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

Template:Infobox mathematical statement 代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。

黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。

公式

令X为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群$K_0(X)$规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换：

$\mathrm{c}\mathrm{h}:K_0(X)\to A(X,\mathbb{Q}),$

其中$A_d(X,\mathbb{Q})$是d维的X上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若X定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群：

$H^{2\dim (X)-2d}(X,\mathbb{Q}).$

现在考虑光滑拟射影概形与$X$上的层${ℱ}^{\bullet }$的有界复形之间的真射$f:X\to Y$。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射

$f_{!}=\sum (-1{)}^i{R}^i{f}_{*}:K_0(X)\to K_0(Y)$

（高阶直像的交替和）与前推

$f_{*}:A(X)\to A(Y),$

由公式

解析失败 (转换错误。服务器（“https://wikimedia.org/api/rest_”）报告：“Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found”): {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}

其中$\mathrm{t}\mathrm{d}(X)$是X（的切丛）的Todd属。因此，定理给出了度量上述前推的缺乏交换性的方法，并表明所需的修正函子只取决于X、 Y。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

$\mathrm{c}\mathrm{h}(f_{!}{ℱ}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm{c}\mathrm{h}({ℱ}^{\bullet })\mathrm{t}\mathrm{d}(T_f)),$

其中$T_f$是f的相对切层，定义为元素$TX-f^{*}(TY)\in K_0(X)$。例如，当f是光滑态射时，$T_f$就只是向量丛，即沿f的纤维的切丛。

Template:Harvtxt运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射。

泛化与特化

考虑组合$\mathrm{c}\mathrm{h}(-)\mathrm{t}\mathrm{d}(X)$的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。

算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是Y为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。

例子

曲线上的向量丛

域$k$的光滑射影曲线上秩为$n$、度为$d$（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛$E\to C$有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点$X=C$、$Y=\{*\}$，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

$\begin{array}{cc}\mathrm{c}\mathrm{h}(f_{!}{ℱ}^{\bullet })& =h^0(C,E)-h^1(C,E)\\ f_{*}(\mathrm{c}\mathrm{h}(E)\mathrm{t}\mathrm{d}(X))& =f_{*}((n+c_1(E))(1+(1/2)c_1(T_C)))\\ & =f_{*}(n+c_1(E)+(n/2)c_1(T_C))\\ & =f_{*}(c_1(E)+(n/2)c_1(T_C))\\ & =d+n(1-g);\end{array}$

于是

$\chi (C,E)=d+n(1-g).$

此式也适于秩为$n$、度为$d$的相干层。

光滑真射

格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射$f:X\to Y$的纤维都是等维的（在基变为$ℂ$时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间$ℳ$对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。

曲线的模

对$g$属曲线（且无标记点）的模叠${\overline{ℳ}}_g$，有通用曲线$\pi :{\overline{𝒞}}_g\to {\overline{ℳ}}_g$，其中${\overline{𝒞}}_g={\overline{ℳ}}_{g,1}$是属$g$曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类

$\begin{array}{cc}{K}_{{\overline{𝒞}}_g/{\overline{ℳ}}_g}& =c_1({\omega }_{{\overline{𝒞}}_g/{\overline{ℳ}}_g})\\ {\kappa }_l& ={\pi }_{*}(K_{{\overline{𝒞}}_g/{\overline{ℳ}}_g}^{l+1})\\ 𝔼& ={\pi }_{*}({\omega }_{{\overline{𝒞}}_g/{\overline{ℳ}}_g})\\ {\lambda }_l& =c_l(𝔼)\end{array}$

其中$1\le l\le g$与${\omega }_{{\overline{𝒞}}_g/{\overline{ℳ}}_g}$是相关的对偶化层。注意${\omega }_{{\overline{𝒞}}_g/{\overline{ℳ}}_g}$在点$[C]\in {\overline{ℳ}}_g$上的纤维，这就是对偶化层${\omega }_C$。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环$A^{*}({ℳ}_g)$上的${\kappa }_i$之和 (corollary 6.2)，从而找到描述${\lambda }_i$的${\lambda }_i$、${\kappa }_i$间的关系。由于${\overline{ℳ}}_g$是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形${\widetilde{ℳ}}_g\to {\overline{ℳ}}_g$的覆盖，对某个有限群$G$可给出${\overline{ℳ}}_g=[{\widetilde{ℳ}}_g/G]$。对${\omega }_{{\widetilde{𝒞}}_g/{\widetilde{ℳ}}_g}$应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

$\mathrm{c}\mathrm{h}({\pi }_{!}({\omega }_{\widetilde{𝒞}/\widetilde{ℳ}}))={\pi }_{*}(\mathrm{c}\mathrm{h}({\omega }_{\widetilde{𝒞}/\widetilde{ℳ}}){\mathrm{T}\mathrm{d}}^{\vee }({\mathrm{\Omega }}_{\widetilde{𝒞}/\widetilde{ℳ}}^1))$

因为

${𝐑}^1{\pi }_{!}({\omega }_{{\widetilde{𝒞}}_g/{\widetilde{ℳ}}_g})\cong {𝒪}_{\tilde{M}},$

由上式可知

$\mathrm{c}\mathrm{h}(𝔼)=1+{\pi }_{*}(\text{ch}({\omega }_{\widetilde{𝒞}/\widetilde{ℳ}}){\text{Td}}^{\vee }({\mathrm{\Omega }}_{\widetilde{𝒞}/\widetilde{ℳ}}^1)).$

这样，$\mathrm{c}\mathrm{h}(𝔼)$的计算可以进一步减少。在偶数维$2k$，

$\text{ch}(𝔼{)}_{2k}=0.$

另外在1维，

${\lambda }_1=c_1(𝔼)=\frac{1}{12}({\kappa }_1+\delta ),$

其中$\delta$是边界上的一个类。$g=2$时，在光滑轨迹${ℳ}_g$上有如下关系

$\begin{array}{cc}{\lambda }_1& =\frac{1}{12}{\kappa }_1\\ {\lambda }_2& =\frac{{\lambda }_1^2}{2}=\frac{{\kappa }_1^2}{288}\end{array}$

可通过分析$𝔼$的陈示性推得。

闭嵌入

闭嵌入$f:Y\to X$也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对$n$维光滑簇$X$及余维为$k$的子簇$Y$，有

$c_k({𝒪}_Y)=(-1{)}^{k-1}(k-1)![Y]$

由短正合序列

$0\to {ℐ}_Y\to {𝒪}_X\to {𝒪}_Y\to 0$,

有下式

$c_k({ℐ}_Y)=(-1{)}^k(k-1)![Y]$

for the ideal sheaf since $1=c({𝒪}_X)=c({𝒪}_Y)c({ℐ}_Y)$.

应用

模空间的准射影性

过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间$M$（如有尖代数曲线的模空间$M_{g,n}$）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察$M$上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，$M_{g,n}$有曲线族

$\pi :C_{g,n}\to M_{g,n}$

有截面

$s_i:M_{g,n}\to C_{g,n}$

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛${\omega }_C$，有相伴线丛 $${\mathrm{\Lambda }}_{g,n}(\pi )=\det (𝐑{\pi }_{*}({\omega }_{C_{g,n}/M_{g,n}}))$$ 及 $${\chi }_{g,n}^{(i)}=s_i^{*}({\omega }_{C_{g,n}/M_{g,n}}).$$ 于是

${\mathrm{\Lambda }}_{g,n}(\pi )\otimes \left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{\chi }_{g,n}^{(i)}\right)$

是丰沛线丛Template:Rp，因此粗糙模空间$M_{g,n}$是准射影的。

历史

亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：人们当时认为定理是关于代数簇的，而格罗滕迪克指出其实际上是簇间态射的定理。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。

另见

• 川崎黎曼–罗赫公式

参考文献

• Template:Cite book
• Template:Citation
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• Template:Cite web
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外部链接

• The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem Template:Wayback
• The thread Template:Wayback "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
• The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
• The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.