柯尼格斯函数

Template:Issues 在数学中， 柯尼格斯函数是用于复分析和动力系统中的一种函数。法国数学家加布里埃尔·泽维尔·保罗·科尼格斯于1884年引入了此函数，该函数作为复数中单位圆盘内的单叶函数的扩张，或单位圆盘内的映射组成的半群的扩张，给出一个规范表示。

柯尼希斯函数的存在性与唯一性

令D为复数中的单位圆盘，设D上有全纯函数$f:D\to D$，Template:Mvar固定点0，其中Template:Mvar不等于0且Template:Mvar不是D的自同构（即由SU(1,1)中矩阵定义的莫比乌斯变换）。

由Template:Le可知，Template:Mvar 使得每个由|z|<Template:Mvar表记的圆盘保持不变，且Template:Mvar的迭代一致紧密收敛到0：事实上，在0 < Template:Mvar < 1范围内，对于|z | ≤ r且M(r ) < 1，有：

$|f(z)|\le M(r)|z|$。

此外，Template:Mvar '(0) = Template:Mvar，其中0 < |Template:Mvar| < 1.

Template:Harvtxt证明了，在D上可以定义证明唯一的全纯函数h，称为柯尼希斯函数，使得Template:Mvar(0) = 0, Template:Mvar '(0)=1，同时满足Template:Le：

$h(f(z))=f^{\prime }(0)h(z).$

函数h 是一系列归一化迭代 $g_n(z)={\lambda }^{-n}{f}^n(z)$ 的紧空间上的一致收敛极限，.

此外，如Template:Mvar为单价，则Template:Mvar同理。

因此，若Template:Mvar（因此 Template:Mvar）为单价，Template:Mvar则可用开放领域Template:Math识别。 受此共形识别影响，映射Template:Mvar转换为乘以Template:Mvar（即Template:Mvar上的膨胀）。

证明

• 独特性——若Template:Mvar是另一个解，一经分析，则足以证明k = h接近于0。令

$H=k\circ h^{-1}(z)$

接近0。遂H(0) =0，H'(0)=1 并且对于小|z |，

$\lambda H(z)=\lambda h(k^{-1}(z))=h(f(k^{-1}(z))=h(k^{-1}(\lambda z)=H(\lambda z).$

将Template:Mvar代入幂级数，得出Template:Math 接近0。故Template:Math接近0。

• 存在——若$F(z)=f(z)/\lambda z,$，则依据施瓦茨引理：

$|F(z)-1|\le (1+|\lambda {|}^{-1})|z|.$

另一方面，

$g_n(z)=z\prod _{j=0}^{n-1}F(f^j(z)).$

故依据魏爾施特拉斯判別法检验结果得出g_n一致收敛于|z| ≤ r，因为

$\sum \underset{|z|\le r}{\sup }|1-F\circ f^j(z)|\le (1+|\lambda {|}^{-1})\sum M(r{)}^j<\mathrm{\infty }.$

• 单价——依据赫维茨定理，由于每个gⁿ具有单价性和正规化两项属性（即固定0并在此有导数1），其极限Template:Mvar亦具有单价性。

参考文献

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• Template:Cite book ASIN: B0006BTAC2
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