魏尔施特拉斯判别法

Template:ScienceNavigation 魏尔施特拉斯判别法是一个类似于比较审敛法的判别法，可以用于判断函数项级数的收敛性。

假设 ${f_{n}}$ 是定义在集合 $A$ 内的一个实数或复数函数的数列，并存在正的常数 $M_{n}$ ，使得

| f_{n} (x) | \leq M_{n}

对于所有的 $n$ ≥ $1$ 和 $A$ 内所有的 $x$ 。进一步假设级数

\sum_{n = 1}^{\infty} M_{n}

收敛。那么级数

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)

在 $A$ 内一致收敛（常规意义下，以一致收敛的柯西逼近形式證明）。

如果函数 ${f_{n}}$ 的陪域是任何一个巴拿赫空间，则魏尔施特拉斯判别法的一个更一般的形式仍然成立，但要把

| f_{n} | \leq M_{n}

换成

| | f_{n} | | \leq M_{n}

,

其中 $| | \cdot | |$ 是巴拿赫空间的范数。范数的选取方法与结果一般无关。

参考文献

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Whittaker and Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, p. 49.