欧米加常数

{{#invoke:TemplateVariadicArgumentSingle|build_template |_core_template=Template:Infobox number/core |_core_args=lang |_core_insert_code= | lang$ = {{{lang$|}}} | lang$ symbol = {{{lang$ symbol|}}} }} 欧米加常数是一个数学常数，定义为：

$\mathrm{\Omega }\exp (\mathrm{\Omega })=1.$

它是W(1)的值，其中W是朗伯W函数。

Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 Template:OEIS。它具有以下的性质：

$e^{-\mathrm{\Omega }}=\mathrm{\Omega },$

或

$\ln (1/\mathrm{\Omega })=\mathrm{\Omega }.$

我们可以用迭代的方法来计算Ω，从Ω₀开始，用下面的数列进行迭代：

${\mathrm{\Omega }}_{n+1}=e^{-{\mathrm{\Omega }}_n}.$

当n→∞时，这个数列收敛于Ω。

无理数和超越数

我们可以用e是超越数的事实来证明Ω是无理数。如果Ω是有理数，则存在整数p和q，使得

$\frac{p}{q}=\mathrm{\Omega }$

所以

$1=\frac{p{e}^{\frac{p}{q}}}{q}$

$e=\sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}$

这样，e就是p次代数数。但是，e实际上是超越数，所以Ω一定是无理数。

Ω实际上也是一个超越数，这可以由林德曼-魏尔斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代数数，exp(Ω)将会是超越数，exp⁻¹(Ω)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。

参见

• 朗伯W函数

参考文献

• Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." -{R|http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega}- Template:Wayback.
• Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. -{R|https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf}-.

外部链接

• Template:MathWorld