有界輸入有界輸出穩定性

Template:No footnotes Template:NoteTA 在信號處理及控制理論中，有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性，是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。

對於信號若存在有限的定值$B>0$使得信號的振幅不會超過$B$，則此信號為有界的，也就是說

$|y[n]|\le B\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}$ 針對離散訊號，或

$|y(t)|\le B\mathrm{\forall }t\in ℝ$ 針對連續訊號

線性非時變系統時域分析下的條件

連續系統的充份及必要條件

針對連續時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|h(t)|\mathrm{d}t=\Vert h{\Vert }_1<\mathrm{\infty }$

離散系統的充份條件

針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L¹範數

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n]|=\Vert h{\Vert }_1<\mathrm{\infty }$

充份條件的證明

假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應$h[n]$和輸入$x[n]$和輸出$y[n]$之間會有以下的關係：

$y[n]=h[n]*x[n]$

其中$*$為卷積 則依卷積的定義：

$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[k]x[n-k]$

令$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$為$|x[n]|$的最大值

$|y[n]|=\left|\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[n-k]x[k]\right|$

$\le \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n-k]||x[k]|$（根據三角不等式）

$\le \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n-k]|\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$

$=\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n-k]|$

$=\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[k]|$

若$h[n]$是絕對可求和，則$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[k]|=\Vert h{\Vert }_1<\mathrm{\infty }$且

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[k]|=\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert h{\Vert }_1$

因此若$h[n]$是絕對可求和，且$|x[n]|$有界，則因為$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\Vert h{\Vert }_1<\mathrm{\infty }$，$|y[n]|$也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

線性非時變系統頻域分析下的條件

連續時間訊號

對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為Template:Link-en。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|h(t)|\mathrm{d}t$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|h(t)|\left|e^{-j\omega t}\right|dt$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|h(t)(1\cdot e{)}^{-j\omega t}|dt$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|h(t)(e^{\sigma +j\omega }{)}^{-t}|dt$

$=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|h(t)e^{-st}|dt$

其中$s=\sigma +j\omega$，且$\text{Re}(s)=\sigma =0$.

因此收斂區域必須包括虛軸。

離散時間訊號

對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

$\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n]|=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n]|\left|e^{-j\omega n}\right|$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n](1\cdot e{)}^{-j\omega n}|$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n](r{e}^{j\omega }{)}^{-n}|$

$=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|h[n]z^{-n}|$

其中$z=r{e}^{j\omega }$，且$r=|z|=1$

因此收斂區域必須包括單位圓。

相關條目

• 线性时不变系统理论
• 有限脉冲响应（FIR）濾波器
• 無限脈衝響應（IIR）濾波器
• 奈奎斯特图
• 羅斯-霍維茨穩定性準則
• 波德圖
• 相位裕度
• 根軌跡法
• 超穩定性

延伸閱讀

• Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
• John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
• D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
• Proof of the necessary conditions for BIBO stability. Template:Wayback
• Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577