有理数根定理

在代数中，有理根定理（或有理根检验、有理零定理、有理零检验或Template:Math定理）陈述了对多项式方程的有理数解的约束。

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0=0$

具有整数系数$a_i\in \mathbb{Z}$和$a_0,a_n\ne 0$ .方程的解也称为左侧多项式的根或零点。

该定理指出每个有理根$x=\frac{p}{q}$，写成最低项使$p$和$q$互质，满足：

• $p$ 是常数项$a_0$的整数因子
• $q$ 是首项$a_n$的整数因子

有理根定理是高斯定理关于多项式分解的一个特例（对于单个线性因子）。

整数根定理(integral root theorem) 是有理根定理当最高次项系数$a_n=1$的特例。

应用

该定理用于查找多项式的所有有理根（如果有的话）。它给出了有限数量的可能分数，可以检查它们是否是根。如果找到有理根Template:Math ，则可以使用多项式长除法从多项式中分解出线性多项式Template:Math ，从而得到一个更低阶的多项式，其根也是原始多项式的根。

三次方程

一般三次方程

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

具有整数系数的问题在复平面上有三个解。如果有理根测试找不到有理解，那么用代数表示解的唯一方法是使用立方根。但是，如果测试找到有理解Template:Math ，则分解出Template:Math会留下一个二次多项式，其两个根是用二次公式找到的，是剩余的两个立方根，避免了立方根。

证明

初等证明

让$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$和$a_0,\dots a_n\in \mathbb{Z}.$

假设Template:Math对于一些互质Template:Math ：

$P\left(\frac{p}{q}\right)=a_n{\left(\frac{p}{q}\right)}^n+a_{n-1}{\left(\frac{p}{q}\right)}^{n-1}+\cdots +a_1\left(\frac{p}{q}\right)+a_0=0.$

要清除分母，将两边乘以Template:Math ：

$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0.$

将Template:Math项移到右侧并分解出左侧的Template:Mvar会得到：

$p(a_n{p}^{n-1}+a_{n-1}q{p}^{n-2}+\cdots +a_1{q}^{n-1})=-a_0{q}^n.$

因此， Template:Mvar整除Template:Math 。但是Template:Mvar与Template:Mvar互质，因此与Template:Math互质，因此根据欧几里德引理， Template:Mvar必须整除剩余的因子Template:Math 。

另一方面，将Template:Math移到右侧并在左侧分解出Template:Mvar会产生：

$q(a_{n-1}{p}^{n-1}+a_{n-2}q{p}^{n-2}+\cdots +a_0{q}^{n-1})=-a_n{p}^n.$

如前所述，可以得出Template:Mvar整除Template:Math 。

使用高斯定理证明

如果有一个非平凡的因子除以多项式的所有系数，则可以除以系数的最大公约数，从而获得高斯定理意义上的本原多项式；这不会改变有理根的集合，只会加强整除条件。该引理表示，如果Template:Math中的多项式因子，那么它也会将Template:Math中的因子作为本原多项式的乘积。现在，任何有理根Template:Math都对应于多项式Template:Math中的 1 次因子，其原始表示则为Template:Math ，假设Template:Math和Template:Math互质。但是Template:Math的Template:Math中的任何倍数都有可被Template:Math整除的首项和可被Template:Math整除的常数项，这证明了命题。这个论点表明，更一般地， Template:Math的任何不可约因子都可以假设具有整数系数，并且最高次系数和常数系数整除Template:Math的最高次系数和常数系数.

例子

一、

在多项式$2x^3+x-1,$中

任何完全约化的有理根都必须有一个能整除 1 的分子和一个能整除 2 的分母。因此，唯一可能的有理根是±1/2 和±1；由于这些都不等于多项式为零，因此它没有有理根。

二、

在多项式$x^3-7x+6$中

唯一可能的有理根将具有除以 6 的分子和除以 1 的分母，将可能性限制为 ±1、±2、±3 和 ±6。其中，1、2 和 –3 使多项式等于零，因此是它的有理根。 （实际上，这些是它唯一的根，因为三次方只有三个根；一般来说，多项式可能有一些有理根和一些无理根。 )

三、

多项式

$3x^3-5x^2+5x-2$

的每个有理根

必须在以下符号表示的数字中：

$\pm \frac{1,2}{1,3}=\pm \{1,2,\frac{1}{3},\frac{2}{3}\}.$

这 8 个候选根Template:Math可以通过评估Template:Math来测试，例如使用Horner 的方法。结果恰好有一个Template:Math 。

这个过程可能会更有效率：如果Template:Math ，它可以用来缩短剩余候选者的列表。 例如， Template:Math不起作用，因为Template:Math 。代入Template:Math产生一个多项式 Template:Mvar具有常数项Template:Math ，而Template:Math的系数与Template:Math的系数保持相同。应用有理根定理从而产生可能的根$t=\pm \frac{1}{1,3}$ ， 以便

$x=1+t=2,0,\frac{4}{3},\frac{2}{3}.$

实根必须出现在两个列表中，因此有理根候选列表已缩小到只有Template:Math和Template:Math 。

如果找到Template:Math有理根，Horner 方法也会产生一个Template:Math次多项式，其根与有理根一起恰好是原始多项式的根。如果没有一个候选者是解决方案，则不可能有合理的解决方案。

参考

• Charles D. Miller、Margaret L. Lial、David I. Schneider：大学代数基础。 Scott & Foresman/Little & Brown 高等教育，第 3 版 1990，Template:ISBN ，页数 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient：初等数学的历史根源。多佛信使出版社 1998 年，Template:ISBN ，页数 116–117（Template:Google books）
• Ron Larson：微积分：一种应用方法。圣智学习 2007，Template:ISBN ，第 23–24（Template:Google books）

外链

• Template:MathWorld
• RationalRootTheorem Template:Wayback at PlanetMath
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers Template:Wayback by Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test Template:Wayback at purplemath.com