高斯引理 (多項式)

Template:For在代数學中，高斯引理^[1]以高斯命名，是关于整係數多项式的命題，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整環的敘述。

高斯的引理断言两个本原多項式的乘積仍是本原多項式（本原多項式是指：係數的最大公因數為1的整係數多項式）。

高斯引理有一個推论，有时也被称为高斯引理。其斷定一個本原多项式在整数上是不可约的，若且唯若它在有理数上是不可约的。

整係數多項式版本

當一個整係數多項式 $f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 的係數的最大公因數是1，我們稱其為本原多項式。那麼有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 兩個本原多項式的乘積仍是本原多項式。

证明：

以下以反證法證明，假設存在 $p$ 不是1，整除乘積

設整係數多項式 $f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{s} x^{s}, g (x) = b_{0} + b_{1} x + \dots + b_{t} x^{t}$ 都是本原的，並反設 $h (x) : = f (x) g (x)$ 不是本原多項式。

於是 $h (x)$ 是非本原的整係數多項式，因此可選整除 $h (x)$ 所有係數的質數 $p$ 。

但

f (x), g (x)

皆是本原的，從而可分別選定

i \in {0, \dots, s}, j \in {0, \dots, t}

為滿足

p ∤ a_{i}, p ∤ b_{j}

的最小整數（i.e.從0項開始出發）。現在我們知道

h (x)

的

i + j

項係數是

$\sum_{k = 0}^{i + j} a_{k} b_{i + j - k} \equiv a_{i} b_{j} \equiv̸ 0 (\mod p) .$

（乘積裏面先於

a_{i}, b_{j}

都是被

p

整除，所以只剩

a_{i} b_{j}

）根據假設，該項係數應該被

p

整除，矛盾，故得證。

高斯引理 (不可約版本). 如果一非常數整係數多項式在有理係數多項式環 $ℚ [x]$ 內可約，則他在整係數多項式環 $ℤ [x]$ 內也可約。

证明：

設 $h (x)$ 是一在 $ℚ [x]$ 內可約的非常數整係數多項式。於是可取兩個非常數的有理係數多項式 $f_{1} (x), g_{1} (x)$ 使得 $h (x) = f_{1} (x) g_{1} (x)$ 。

透過適當選取整數 $a, b, c, d$ ，可以假設 $f_{2} (x) : = \frac{a}{c} f_{1} (x), g_{2} (x) : = \frac{b}{d} g_{1} (x)$ 皆是本原多項式（當然也就是整係數多項式）。

由上一個引理， $f_{2} (x) g_{2} (x) = \frac{a b}{c d} h (x)$ 也是本原多項式。於是 $\frac{c d}{a b}$ 是 $h (x)$ 的係數的最大公因數，故 $\frac{c d}{a b}$ 是個整數。

現在，我們有 $h (x) = \frac{c d}{a b} f_{2} (x) g_{2} (x)$ 且 $\frac{c d}{a b}$ 是整數，於是也就證明了 $h (x)$ 在 $ℤ [x]$ 內也可約。