調和共軛

在數學中，調和共軛（Harmonic conjugate）是針對函數的概念。定義在開集$\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^2$中的函數$u(x,y)$，另一個函數$v(x,y)$為其共軛函數的充分必要條件是$u(x,y)$和$v(x,y)$需要是全純函數$f(z)$（$z:=x+iy\in \mathrm{\Omega }$）的實部及虛部。

因此，若$f(z):=u(x,y)+iv(x,y)$在$\mathrm{\Omega }$中為全純函數，$v$就為$u$的共軛函數。而$v$和$u$也是$\mathrm{\Omega }$中的调和函数。$v$為$u$的共軛函數，若且唯若$u$為$-v$的共軛函數。

在$\mathrm{\Omega }$區間內，$v$是$u$共軛函數的充分必要條件是$u$和$v$滿足柯西－黎曼方程。

Template:Quad $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$

Template:Quad$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$

舉例

例如，考慮函數$$u(x,y)=e^x\sin y.$$

因為 $$\frac{\partial u}{\partial x}=e^x\sin y,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}=e^x\sin y$$ 且 $$\frac{\partial u}{\partial y}=e^x\cos y,\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=-e^x\sin y,$$ 會滿足 $$\mathrm{\Delta }u={\mathrm{\nabla }}^{2}u=0$$ （$\mathrm{\Delta }$是拉普拉斯算子），因此是调和函数。現在假設存在$v(x,y)$，可以滿足柯西－黎曼方程：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=e^x\sin y$$ and $$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=e^x\cos y.$$

化簡後可得 $$\frac{\partial v}{\partial y}=e^x\sin y$$ 且 $$\frac{\partial v}{\partial x}=-e^x\cos y$$ 因此可得 $$v=-e^x\cos y+C.$$

若Template:Math和Template:Math的關係對調，函數就不是調和共軛函數了，因為柯西－黎曼方程中的負號，讓此關係是非對稱的關係。

參考資料

• Template:Cite book

外部連結

• Harmonic Ratio Template:Wayback
• Template:Springer