投射分解

在同調代數中，一個阿貝爾範疇 $𝒜$ 中的對象 $A$ 之投射分解定義為一個正合序列

$\cdots ⟶P_n⟶P_{n-1}⟶\cdots ⟶P_0⟶A⟶0$

或簡寫成 $P_{\bullet }\to A\to 0$，使得其中每個 $P_n$ 皆為投射對象。對任一對象 $A$，任兩個投射分解至多差一個鏈複形的同倫等價。

若 $𝒜$ 中的每個對象都有投射分解，則稱 $𝒜$ 有充足的投射元，這類範疇上能以投射分解開展同調代數的研究。典型例子包括：

• 環 $R$ 上的模構成之範疇 ${𝐌𝐨𝐝}_R$，這是交換代數的主要對象。模上投射分解的特例是自由分解，此時我們要求每個 $P_{\bullet }$ 都是自由模；由於任何模均可表成自由模的商，自由分解總是存在的。希爾伯特合衝定理斷言：若取 $R$ 為域上的多項式環，則自由分解在有限步之內停止。
• 群 $G$ 的 $G$-模範疇 $G-𝐌𝐨𝐝$，也就是帶有 $G$ 的群作用的阿貝爾群，此範疇上能定義群上同調。

反例則包括一般概形 $X$ 上的凝聚層範疇 ${𝐂𝐨𝐡}_X$。

與此對偶的概念是內射分解。