戴德金和

戴德金和（Dedekind sum）是德國數學家理查德·戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。

定義這個函數，首先要定義 $((x))$ ：若 $x$ 是整數， $((x)) = 0$ ，否則為 $x - [x] - 0.5$ ，其中 $[x]$ 是最大而又不大於 $x$ 的整數。

對於非零整數 $h, k$ ，戴德金和 $s (h, k)$ 定義為 $s (h, k) = \sum_{μ = 0}^{k - 1} ((\frac{μ}{k})) ((\frac{h μ}{k}))$

若 $h, k$ 互質且均大於0，有 $s (h, k) = \frac{1}{4 k} \sum_{μ = 1}^{k - 1} \cot (\frac{π h μ}{k}) \cot (\frac{π μ}{k})$

公式

有公因數時： $s (c h, c k) = s (h, k)$
Petersson-Knopp恆等式： $\sum_{d | n} \sum_{m = 0}^{d - 1} s (\frac{n}{d} h + m k, k d) = σ (n) s (h, k)$ ， $σ (n)$ 為因數函數，是 $n$ 的正因數之和。其中一個較易證明的特例為當 $p$ 為質數， $(p + 1) s (h, k) = s (p h, k) + \sum_{m = 0}^{p - 1} s (h + m k, p k)$
周期性： $s (n k + h, k) = s (h, k)$
若 $p q \equiv 1 (\mod k)$ ， $s (p, k) = s (q, k)$ 。
$s (1, k) = \frac{(k - 1) (k - 2)}{12 k}$
若 $k$ 為奇數， $s (2, k) = \frac{(k - 1) (k - 5)}{24 k}$
對於 $k \equiv 1 (\mod h)$ ， $12 h k s (h, k) = (k - 1) (k - (h^{2} + 1))$
對於 $k \equiv 2 (\mod h)$ ， $12 h k s (h, k) = (k - 2) (k - (h^{2} + 1) / 2)$
對於 $k \equiv - 1 (\mod h)$ ， $12 h k s (h, k) = k^{2} + (h^{2} - 6 h + 2) k + (h^{2} + 1)$
互反和：

s (h, k) + s (k, h) = - \frac{1}{4} + \frac{1}{12} (\frac{h}{k} + \frac{1}{h k} + \frac{k}{h})