戴尔指数

戴尔指数（Template:Lang-en）又稱為泰爾指數，是一个衡量经济不平等的统计量。它也曾經用來衡量其他社會不平等現象，如種族隔離。

戴尔指数主要是利用資訊理論中的資訊熵的概念導出的。戴尔指数等於資訊冗餘，也就是資料最大可能資訊熵減去觀測到的資訊熵，它是Template:Le的特例，可以被視為冗餘度、單樣性、不平等、非隨機性和可壓縮性的度量。

戴尔指数最早由荷兰鹿特丹伊拉斯姆斯大學的计量经济学家Template:Le（Template:Lang）所提出。

数学公式

假設一個人口為N的群體，其收入分別為x_i (i = 1,...,N)，則它的戴爾指數T定義為：

$T_T=T_{\alpha =1}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{x_i}{\mu }\ln \left(\frac{x_i}{\mu }\right)$

而戴爾指數L則定義為

$T_L=T_{\alpha =0}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\ln \left(\frac{\mu }{x_i}\right)$

其中$x_i$为第$i$个人的收入，$\mu$为平均收入，$N$为人口数量。加总符号中的第一项可以理解为个人在总收入中所占的比例，第二项为该个人相对于均值的收入。

如果收入分布是個離散分布函數 f_k (k = 0,...,W)，其中f_k是收入為k的人口比例，而W = Nμ 代表總收入，可以得知 $\sum _{k=0}^W{f}_k=1$ 。 它的戴爾指數T定義為：

$T_T=\sum _{k=0}^W{f}_k\frac{k}{\mu }\ln \left(\frac{k}{\mu }\right)$

這裡的$\mu$一樣是收入平均

$\mu =\sum _{k=0}^{W}k{f}_k$

其中應注意到收入k是一個整數，k=1代表最小收入增量（比如新台幣1元）。

如果收入分布是個連續分布函數f(k)，k取值0到無窮，其中f(k) dk 是收入為k 到 k + dk的人口數量，那戴爾指數T定義為：

$T_T=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(k)\frac{k}{\mu }\ln \left(\frac{k}{\mu }\right)dk$

其中平均$\mu$為：

$\mu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}kf(k)dk$

一些常見連續概率分佈的戴尔指數如下表所示：

收入分布函數	PDF(x) (x ≥ 0)	戴尔指数（納特）
狄拉克δ函數	$\delta (x-x_0),x_0>0$	0
連續型均勻分布	$\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& a\le x\le b\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$	$\ln \left(\frac{2a}{(a+b)\sqrt{e}}\right)+\frac{b^2}{b^2-a^2}\ln (b/a)$
指數分布	$\lambda e^{-x\lambda },x>0$	$1-$ $\gamma$
對數常態分布	$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{(-(\ln (x)-\mu {)}^2)/{\sigma }^2}$	$\frac{{\sigma }^2}{2}$
帕累托分布	$\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha k^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}& x\ge k\\ 0& x<k\end{array}$	$\ln (1-1/\alpha )+\frac{1}{\alpha -1}$    (α>1)
卡方分布	$\frac{2^{-k/2}{e}^{-x/2}{x}^{k/2-1}}{\mathrm{\Gamma }(k/2)}$	$\ln (2/k)+$ ${\psi }^{(0)}$$(1+k/2)$
伽瑪分布	$\frac{e^{-x/\theta }{x}^{k-1}{\theta }^{-k}}{\mathrm{\Gamma }(k)}$	${\psi }^{(0)}$$(1+k)-\ln (k)$
韋伯分布	$\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}$	$\frac{1}{k}$ ${\psi }^{(0)}$$(1+1/k)-\ln (\mathrm{\Gamma }(1+1/k))$

如果每一个人都有相同的收入，即等于均值，则指数为零。如果某个个人拥有所有的收入，则指数为$\ln N$。T_T 除以$\ln N$ 可以將方程歸一化到0到1的範圍，但這樣違反Template:Le: $T[x\cup x]\ne T[x]$並不符合衡量不平等的標準。

信息論推導

戴尔指数导自克勞德·夏農的信息熵，他的一般數學形式為：

$S=k\sum _{i=1}^N(p_i\log \frac{1}{p_i})=-k\sum _{i=1}^N(p_i\log p_i)$

其中 $p_i$是從人群裡找到$i$的機率。$k$是玻爾茲曼常數。在信息論中，當信息以二進制數字給出時，$k=1$並且對數基底為2。在物理學和戴爾指數的計算中，選擇自然對數作為對數基底。當$p_i$替換成人均收入$x_i$時，需要除以總收入達到歸一化$N\bar{x}$。那可以導出，觀察到的信息熵為：

$S_{\text{Theil}}=\sum _{i=1}^N(\frac{x_i}{N\bar{x}}\ln \frac{N\bar{x}}{x_i})$

设$T$为戴尔指数，$S$为夏農熵，则有

$T=\ln (N)-S$

其中，ln(N)是理論最大熵。香濃根据事件发生概率导出的其熵测度。它可以用戴尔系数解释为自某个特定个人处随机取得一块钱的概率。并与其第一项，即总收入中个人所占份额相同。

符號	信息論	戴爾指數 TT
$N$	字符數	人口數
$i$	某個特定字符	某個特定人
$x_i$	第i個字符 character	第i個人的收入
$N\bar{x}$	總字符數	總收入
$T_T$	未被使用的資訊空間	未使用潛在價格機制

可分解性

戴尔指数的一个优点是它是某个子群体中不平等的加权和。例如，美国国内的不平等就是每个州的不平等的加权和，由该州收入相对于国家总收入的比值来加权。

如果人口被划分为$m$个子群体，$s_k$ 为群体$k$ 的收入比例，$T_k$为该子群体的戴尔指数，而 ${\bar{x}}_k$ 为子群体 $k$的平均收入，则戴尔指数为

$T=\sum _{k=1}^m{s}_k{T}_{T_k}+\sum _{k=1}^m{s}_k\ln \frac{{\bar{x}}_k}{\bar{x}}$

因此，我们可以说某个特定群体给总体“贡献了”一定数量的不平等。

另外一个被广泛使用的不平等度量为基尼系数，该系数对于很多人来说由于基于劳伦茨曲线而非常直观。但是它却没有戴尔指数容易分解。

外部連結

• 德克萨斯大学戴尔指数简介 Template:Wayback（英文）
• 試算表: 收入不平等指标#电子表格计算
• 免費在線計算器 計算基尼係數，繪製洛倫茲曲線，並為任何數據集計算許多其他濃度測量值
• Free Calculator: Online Template:Wayback and downloadable scripts (Python and Lua) for Atkinson, Gini, and Hoover inequalities
• Users of the R Template:Wayback data analysis software can install the "ineq" package which allows for computation of a variety of inequality indices including Gini, Atkinson, Theil.
• MATLAB 不平等包 Template:Wayback。MATLAB不平等包，其中包括用於計算基尼，阿特金森，泰爾指數和標繪洛倫茨曲線的代碼