韦伯分布

Template:Expand Template:Refimprove Template:Probability distribution 韦伯分布（Weibull distribution）是可靠性分析和寿命检验的理论基础。

例如，可以使用此分布回答以下问题：

预计将在老化期间失效的项目所占的百分比是多少？例如，预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比？

预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔？例如，在该轮胎的 50,000 英里有效寿命期间预计有多少次保修索赔？

预计何时会出现快速磨损？例如，应将维护定期安排在何时以防止发动机进入磨损阶段？

历史

1927年，莫里斯·弗雷歇首先给出这一分布的定义。

1933年，Rosin, P.和Rammler, E.在研究碎末的分布时，第一次应用了韦伯分布。

1951年，瑞典工程师、数学家瓦洛迪·韦伯详细解释了这一分布，于是该分布便以他的名字命名为韦伯分布。

定义

从概率论和统计学角度看，韦伯分布是连续性的概率分布，其概率密度为：

$f(x;\lambda ,k)=\{\begin{array}{cc}\frac{k}{\lambda }{\left(\frac{x}{\lambda }\right)}^{k-1}{e}^{-(\frac{x}{\lambda }{)}^k}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$

其中，$x$是随机变量，$\lambda >0$是比例参数（scale parameter），$k>0$是形状参数（shape parameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且韦伯分布与很多分布都有关系。如，当$k=1$，它是指数分布；$k=2$时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

性质

均值

$E=\lambda \mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})$ 其中，$\mathrm{\Gamma }$是伽马（gamma）函数。

方差

$Var={\lambda }^2[\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-\mathrm{\Gamma }{(1+\frac{1}{k})}^2],$

偏度

$skewness=\frac{2\mathrm{\Gamma }{(1+\frac{1}{k})}^3-3\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})+\mathrm{\Gamma }(1+\frac{3}{k})}{{[\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-\mathrm{\Gamma }{(1+\frac{1}{k})}^2]}^{\frac{3}{2}}}$

峰度

$kurtosis=\frac{-3\mathrm{\Gamma }{(1+\frac{1}{k})}^4+6\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})\mathrm{\Gamma }{(1+\frac{1}{k})}^2-4\mathrm{\Gamma }(1+\frac{3}{k})\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{k})+\mathrm{\Gamma }(1+\frac{4}{k})}{{[\mathrm{\Gamma }(1+\frac{2}{k})-\mathrm{\Gamma }{(1+\frac{1}{k})}^2]}^2}$

应用

工业制造

研究生产过程和运输时间关系

雷达系统

对接受到的杂波信号的依分布建模

拟合度

无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，Weibull衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度

风速

由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布