德·斯路斯蚌线

德·斯路斯蚌线曲线族中几个a的值

德·斯路斯蚌线是一个平面曲线族，由勒内·弗朗索瓦·沃尔特(男爵德·斯路斯)于1662年研究。

该曲线被定义在极坐标方程下，

$r=\sec \theta +a\cos \theta$.

在笛卡尔坐标系，该曲线满足的隐式方程

$(x-1)(x^2+y^2)=a{x}^2$

除了对于a=0以外，隐式方程形式存在一个孤立点(0,0)不存在于极坐标方程形式中。

它们是有理曲线、循环代数曲线、三次曲线。

这些表达式有一个渐近线x=1(a≠0)。离渐近线最远的点是(1+a,0)。(0,0)是一个结点(a<−1)。

曲线和渐近线之间的面积是($a\ge -1$)，

$|a|(1+a/4)\pi$

当$a<-1$时，面积是

$(1-\frac{a}{2})\sqrt{-(a+1)}-a(2+\frac{a}{2})\arcsin \frac{1}{\sqrt{-a}}$。

如果$a<-1$，曲线将有一个回路。回路的面积是

$(2+\frac{a}{2})a\arccos \frac{1}{\sqrt{-a}}+(1-\frac{a}{2})\sqrt{-(a+1)}$。

曲线族中的四种拥有其独立名称的曲线：

a=0, 直线 (其他曲线族的渐近线)

a=−1, 蔓叶线

a=−2, 正环索线

a=−4, 麦克劳林三等分角曲线

性质

1. 曲线类型 德·斯路斯蚌线属于有理曲线、循环代数曲线和三次曲线的范畴。这意味着它具有较高的代数复杂性，但仍然可以通过有理参数化来表示。
2. 渐近线 当 a=0 时，曲线的渐近线是 x=1。这是德·斯路斯蚌线的重要几何特征之一。离渐近线最远的点位于 (1+a,0)。
3. 特殊点 当 a<−1 时，笛卡尔坐标系下的孤立点 (0,0) 是一个结点，这种情况下曲线呈现出复杂的交叠性质。