環索線

环索线（strophoid）是几何学中的一種曲線，由給定曲線C、點A（固定點）及點O（極點），依以下方式產生：令L是通過O，和曲線C的交點為K的變動直線。令P₁和P₂是直線L上的兩點，這兩點到K的距離和A到K的距離相同（因此A、P₁、P₂在圓心為O為圓上）。P₁、P₂的轨迹即為曲線C的环索线，相對於極點O及固定點A。 其中AP₁和AP₂會呈直角。

若C是直線，A在C上，而O不在C上，此曲線稱為斜環索線（oblique strophoid）。若OA和C垂直，此曲線則稱為正環索線（right strophoid），正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線（foliate）。

方程式

極坐標

令曲線C的極坐標方程為$r=f(\theta )$，其中原點為O，令A的直角坐標為(a, b)，若$K=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$是曲線上的一點，K到A的距離為

$d=\sqrt{(r\cos \theta -a{)}^2+(r\sin \theta -b{)}^2}=\sqrt{(f(\theta )\cos \theta -a{)}^2+(f(\theta )\sin \theta -b{)}^2}$.

在OK線上的點，其極座標角度為$\theta$，線上和點K距離為d的點，和原點的距離為$f(\theta )\pm d$。因此，環索線的方程如下

$r=f(\theta )\pm \sqrt{(f(\theta )\cos \theta -a{)}^2+(f(\theta )\sin \theta -b{)}^2}$

另一種極座標公式

若C是極點為O和A的Template:Link-en時，可以用以下的極座標公式。

令O為原點，A為點(a, 0)，令K為曲線上一點，線OK和X軸的夾角為$\theta$，而 $\vartheta$是線AK和和X軸的夾角。假設$\vartheta$可以表示為$\theta$的函數，假設$\vartheta =l(\theta )$。令$\psi$是K的角度，則$\psi =\vartheta -\theta$。可以用正弦定律，將r用l來表示。因為

$\frac{r}{\sin \vartheta }=\frac{a}{\sin \psi },r=a\frac{\sin \vartheta }{\sin \psi }=a\frac{\sin l(\theta )}{\sin (l(\theta )-\theta )}$。

令P₁和P₂是OK線上和K點的距離等於AK的點，調整編號使$\psi =\mathrm{\angle }{P}_{1}KA$，且$\pi -\psi =\mathrm{\angle }AK{P}_2$。$\mathrm{△}{P}_{1}KA$是頂角為$\psi$的等腰三角形，剩下的兩角$\mathrm{\angle }A{P}_{1}K$和$\mathrm{\angle }KA{P}_1$角度為$(\pi -\psi )/2$。AP₁線和x軸角度為

$l_1(\theta )=\vartheta +\mathrm{\angle }KA{P}_1=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2$。

同理可得AP₂和x軸的角度為

$l_2(\theta )=(\vartheta +\theta )/2$.

環索線的極座標式可以表示以下有l₁及l₂的式子：

$r_1=a\frac{\sin l_1(\theta )}{\sin (l_1(\theta )-\theta )}=a\frac{\sin ((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin ((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}=a\frac{\cos ((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos ((l(\theta )-\theta )/2)}$

$r_2=a\frac{\sin l_2(\theta )}{\sin (l_2(\theta )-\theta )}=a\frac{\sin ((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin ((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}=a\frac{\sin ((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin ((l(\theta )-\theta )/2)}$

若l是$q\theta +{\theta }_0$，曲線C是極點為O和A的麥克勞林分角線，此時，l₁和l₂會有相同的型式，因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線，或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置，也會有較簡單的極座標方程。

特例

斜環索線

令C是通過A點的直線。依照上式的表示法，$l(\theta )=\alpha$，其中$\alpha$為常數，則$l_1(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2$且$l_2(\theta )=(\theta +\alpha )/2$。相對原點O點環索線的極座標（斜環索線）方程為

$r=a\frac{\cos ((\alpha +\theta )/2)}{\cos ((\alpha -\theta )/2)}$

以及

$r=a\frac{\sin ((\alpha +\theta )/2)}{\sin ((\alpha -\theta )/2)}$.

可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到A點，用−a代替a，可得

$r=a\frac{\sin (2\theta -\alpha )}{\sin (\theta -\alpha )}$,

旋轉角度$\alpha$後可得

$r=a\frac{\sin (2\theta +\alpha )}{\sin (\theta )}$.

在直角坐標系，調整常數的參數，可得

$y(x^2+y^2)=b(x^2-y^2)+2cxy$.

是三次曲線，在極座標下是有理函數，其叉點在(0, 0)，漸近線為直線y=b。

正環索線

正環索線

將$\alpha =\pi /2$代入下式

$r=a\frac{\sin (2\theta -\alpha )}{\sin (\theta -\alpha )}$

可得

$r=a\frac{\cos 2\theta }{\cos \theta }=a(2\cos \theta -\sec \theta )$.

此即為正環索線，對應直線C為y軸，A點為原點，O點為點(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程為

$y^2=x^2(a-x)/(a+x)$.

此曲線為笛卡儿叶形线，直線x = −a是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線，分別是複數平面上的

$x\pm iy=-a$。

圓

令圓C是通過O和A的圓，其中O為原點，A的座標為(a, 0)。依以上的表示法，$l(\theta )=\alpha +\theta$，其中$\alpha$是常數。則$l_1(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2$以及$l_2(\theta )=\theta +\alpha /2$，所得相對於圓O環索線（oblique strophoid）的極座標方程為

$r=a\frac{\cos (\theta +\alpha /2)}{\cos (\alpha /2)}$

及

$r=a\frac{\sin (\theta +\alpha /2)}{\sin (\alpha /2)}$.

這是二個通過O和A，在C點形成角度$\pi /4$的圓。

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參考資料

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