多重线性映射

在线性代数中，多重线性映射是有多个向量变量而对每个变量都是线性的函数。

n个变量的多线性映射也叫做n重线性映射。

如果所有变量属于同一个空间，可以考虑对称、反对称和交替的n重线性映射。后两个是一致的，如果底层的环（或域）有不同于二的特征，否则前两个是一致的。

一般讨论可见多重线性代数。

例子

• 在实数域上的内积（点积）是两个变量的对称双线性函数，
• 矩阵的行列式是方矩阵的列（或行）的斜对称多重线性函数。
• 矩阵的迹数是方矩阵的列（或行）的多重线性函数。
• 双线性映射是多重线性映射。

在n×n矩阵上多重线性映射

可以考虑在有单位元的交换环K上的n×n矩阵上的多重线性函数为矩阵的行（或等价说列）上的函数。设A是这样的矩阵而$a_i$, 1 ≤ i ≤ n是A的行。则多重线性函数D可以写为

$D(A)=D(a_1,\dots ,a_n)$，

满足

$D(a_1,\dots ,c{a}_i+a_{i^{\prime }},\dots ,a_n)=cD(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_n)+D(a_1,\dots ,a_{i^{\prime }},\dots ,a_n)$，

如果我们设${\epsilon }_j$表示单位矩阵的第j行，我们用下列方法表示$a_i$

$a_i=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\epsilon }_j$

利用D的多线性我们重写D（A）为

$D(A)=D(\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\epsilon }_j,a_2,\dots ,a_n)=\sum _{j=1}^{n}A(i,j)D({\epsilon }_j,a_2,\dots ,a_n)$

继续这种代换于每个$a_i$我们得到，对于1 ≤ i ≤ n

$D(A)=\sum _{1\le k_i\le n}A(1,k_1)A(2,k_2)\dots A(n,k_n)D({\epsilon }_{k_1},\dots ,{\epsilon }_{k_n})$

所以D(A)是唯一的决定自它如何运算于$D({\epsilon }_{k_1},\dots ,{\epsilon }_{k_n})$上。

在2×2矩阵的情况下我们得到

$D(A)=A_{1,1}{A}_{2,1}D({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)+A_{1,1}{A}_{2,2}D({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)+A_{1,2}{A}_{2,1}D({\epsilon }_2,{\epsilon }_1)+A_{1,2}{A}_{2,2}D({\epsilon }_2,{\epsilon }_2)$，

这裡的${\epsilon }_1=[1,0]$且${\epsilon }_2=[0,1]$。如果我们限制D是交替函数，则$D({\epsilon }_1,{\epsilon }_1)=D({\epsilon }_2,{\epsilon }_2)=0$且$D({\epsilon }_2,{\epsilon }_1)=-D({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)=-D(I)$。设$D(I)=1$我们得到在2×2矩阵上行列式函数:

$D(A)=A_{1,1}{A}_{2,2}-A_{1,2}{A}_{2,1}$，

性质

多重线性映射有零值，只要它的一个参数是零。

对于n>1，唯一的也是线性映射的n-线性映射是零函数。

参见

• 代数形式
• 多重线性形式
• 齐次多项式
• 齐次函数
• 张量