空集公理

在集合论中，空集公理是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。

正式表述

Template:Math theorem直觀上這個公理說：

有着一个集合使得「没有集合」是它的元素。

證明

假設 $(\mathrm{\forall }y)(y\in ̸x)$ $(\mathrm{\forall }y)(y\in ̸t)$ 那根據量詞公理(A4)有 $\mathrm{\neg }(y\in x)$ $\mathrm{\neg }(y\in t)$ 另一方面根據常用的推理性質的(M0)有 $⊢(y\in ̸x)\Rightarrow [(y\in x)\Rightarrow (y\in t)]$ $⊢(y\in ̸t)\Rightarrow [(y\in t)\Rightarrow (y\in x)]$ 這樣就會有 $(y\in x)\Rightarrow (y\in t)$ $(y\in t)\Rightarrow (y\in x)$ 這樣根據(AND)有 $(y\in x)\iff (y\in t)$ 因為前面的 $y$ 在一開始假設裡完全被約束，所以對上式以 $y$ 使用(GEN)有 $(\mathrm{\forall }y)(y\in x)\iff (y\in t)$ 綜上所述 $(\mathrm{\forall }y)(y\in ̸x),(\mathrm{\forall }y)(y\in ̸t)⊢x=t$ 這樣根據普遍化就有 $⊢(\mathrm{\forall }x)(\mathrm{\forall }t)\{[(\mathrm{\forall }y)(y\in ̸x)\wedge (\mathrm{\forall }y)(y\in ̸t)]\Rightarrow (x=t)\}$ 再以(AND)綜合空集公理，本定理就得証了。$◻$

也就是直觀上，「空集是唯一存在的」，這樣根據函數符號與唯一性，可以在 Zermelo-Fraenkel 集合论加入新的常數符號 $\varnothing$ 和以下的新公理

Template:Math theorem一般所稱的空集公理指的是$(N^{\prime })$，而不是據以定義常數符號 $\varnothing$ 的原始公理$(N)$。

解释

我们可以使用外延公理来证明只有一个这样的集合。因为它是唯一的，我们可以簡單名之為空集，并將其標記为 {} 或 $\varnothing$。因此这个公理的本质是：

存在一个空集。

空集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在任何可替代的集合论的公理化中。

在 ZF 的某些陳述版本中，空集公理实际上在无穷公理中是重复的。换句话说，有不预設空集存在的另一种公理版本。还有，以一常量符号表示空集的話，藉此可以把其他 ZF 公理重寫成更簡潔的版本；那么无穷公理也會用到这个符号而不要求它是空的，尽管需要空集公理来表明它实际上是空的。

而且，在那些不包含无穷集合的集合论中，空集公理仍是需要的。就是说，使用分离公理模式，声称任何集合存在的任何公理都蕴涵空集公理。

引用

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.