平坦模

在抽象代數中，一個環 $R$ 上的平坦模是一個 $R$-模 $M$，使得函子 $-{\otimes }_{R}M$ 保持序列的正合性；若此函子還是忠實函子，則稱之為忠實平坦模

域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部諾特環上的有限生成模，平坦性、射影性與自由性三者等價。

自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降，平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深，詳見條目平坦態射。

交換環的情形

當 $R$ 為交換環，一個 $R$-模的平坦性等價於 $N\mapsto N{\otimes }_{R}M$ 是個從 $R$-模到$R$-模之正合函子。

將環 $R$ 對一個積性子集 $S$ 的局部化 $S^{-1}R$ 視作 $R$-模，則它是平坦的。

當 $R$ 是諾特環而 $M$ 是有限生成 $R$-模時，平坦性在下述意義等價於局部自由模：$M$ 是平坦 $R$-模若且唯若對任何素理想 $𝔭$，局部化 $M_{𝔭}$ 是自由 $R_{𝔭}$-模。事實上，對條件中的 $𝔭$ 僅須考慮極大理想即可。

一般的環

當 $R$ 非交換時的定義須作如下修改：假設 $M$ 是左 $R$-模，則稱之左平坦模，若且唯若對 $M$ 的張量積將右 $R$-模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。

環上的張量積總是右正合函子，所以左 $R$-模 $M$ 是平坦模的充要條件是：對任何右 $R$-模的單射 $K\to L$，取張量積後的同態 $K{\otimes }_{R}M\to L{\otimes }_{R}M$ 仍為單射。

極限

一般來說，平坦模的歸納極限仍是平坦模；此陳述可由 $-{\otimes }_{R}M$ 與 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(M,-)$ 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模，然而我們有下述定理：一個平坦模的同態像是平坦模，若且唯若其核為純子模。

Lazard 在1969年證明了：模 $M$ 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一個阿貝爾群是平坦 $\mathbb{Z}$-模的充要條件是其中沒有撓元。

同調代數

與Tor函子的關係

平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 $R$-模 $M$ 的平坦性等價於 $n\ge 1\Rightarrow {\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_n^R(-,M)=0$；類此，一個右 $R$-模 $N$ 的平坦性等價於 $n\ge 1\Rightarrow {\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_n^R(N,-)=0$。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質：

考慮短正合序列

$0⟶A⟶B⟶C⟶0$

• 若 $A,C$ 平坦，則 $B$ 亦然。
• 若 $B,C$ 平坦，則 $A$ 亦然。
• 若 $A,B$ 平坦，$C$ 不一定平坦；若假設 $A$ 是 $B$ 的純子模而 $B$ 平坦，則可推出 $A$ 與 $C$ 皆平坦。

局部判準

設 $R$ 為交換環，$I\subset R$ 為一理想，則我們有下述平坦性的局部判準。

定理（Bourbaki）. 以下諸條件等價：

1. $M$ 是平坦 $R$-模。
2. $R/I{\otimes }_{R}M$ 是平坦 $R/I$-模，且 ${\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_1^R(M,R/I)=0$。
3. $R/I{\otimes }_{R}M$ 是平坦 $R/I$-模，且典範同態 $I{\otimes }_{R}M\to IM$ 為同構。
4. 對所有 $R$-模 $N$，有 $IN=0\Rightarrow {\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_1^R(M,N)=0$。
5. 對所有 $R$-模 $N$，有 $\mathrm{\exists }s\in \mathbb{N}{I}^{s}N=0\Rightarrow {\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{r}}_1^R(M,N)=0$。
6. 對所有 $s\in \mathbb{N}$，$R/I^s{\otimes }_{R}M$ 是平坦 $R/I^s$-模。
7. $R/I{\otimes }_{R}M$ 是平坦 $R/I$-模，且典範態射 $\gamma :{\mathrm{g}\mathrm{r}}_I^0(M){\otimes }_{R/I}{\mathrm{g}\mathrm{r}}_I^{\bullet }(A)\to {\mathrm{g}\mathrm{r}}_I^{\bullet }(M)$ 為同構。

此判準在代數幾何中的用途尤大。

平坦分解

一個模 $M$ 的平坦分解是如下形式的正合序列：

$\cdots \to F_i\to F_{i-1}\to \cdots \to F_0\to M\to 0$

使得其中每個 $F_i$ 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠實平坦模

一個 $R$-模 $M$ 被稱作忠實平坦的，若且唯若 $-{\otimes }_{R}M$ 是個忠實的正合函子。這也就是說：

1. $M$ 是個平坦 $R$-模。
2. 典範映射 ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_R(N_1,N_2)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(N_1{\otimes }_{R}M,N_2{\otimes }_{R}M)$ 是單射。

當 $R$ 為交換環時，有以下幾種等價的刻劃：

• $M$ 是忠實平坦的。
• $M$ 是平坦的，且 $N{\otimes }_{R}M=0\Rightarrow N=0$。
• $M$ 是平坦的，且對所有極大理想 $𝔪\subset R$ 都有 $R/𝔪{\otimes }_{R}M\ne 0$。
• 一個序列 $N_{\bullet }$ 正合，若且唯若 $N_{\bullet }{\otimes }_{R}M$ 正合。

文獻

• Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
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