局部環

在數學中，局部環是只有一個極大理想的交換環。

局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入，稱之為 Stellenringe，英譯 local ring 源自扎裡斯基。

定義

設 $R$ 為交換含-{zh-hans:幺;zh-hk:幺;zh-tw:幺;}-環。若 $R$ 僅有一個極大理想 $𝔪$，則稱 $R$（或 $(R,𝔪)$）為局部環。域 $R/𝔪$ 稱為 $R$ 的剩餘域。

若 $R$ 中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。

一個局部環 $(R,𝔪)$ 上帶有一個自然的 $𝔪$-進拓撲，使得 $R$ 成為拓撲環；其開集由 $\{{𝔪}^i:i\ge 0\}$ 生成。當 $R$ 為諾特環時，可證明 $R$ 為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設 $(R,𝔪),(S,𝔫)$ 為局部環，環同態 $\varphi :R\to S$ 被稱為局部同態，若且唯若 $𝔪={\varphi }^{-1}(𝔫)$。

例子

• 域是局部環。
• 形式冪級數環 $k[[X_1,\dots ,X_n]]$ 是局部環，其中 $k$ 是個域。極大理想是 $(X_1,\dots ,X_n)$。
• 取係數在$ℝ$ 或 $ℂ$ 上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。
• 凡賦值環皆為局部環。
• 設 $R$ 為任意交換環， $𝔭$ 為素理想，則相應的局部化 $(R_{𝔭},𝔭R_{𝔭})$ 是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若 $(R,𝔭)$ 已是局部環，則 $R\stackrel{\sim }{\to }{R}_{𝔭}$。
• 局部環的商環仍是局部環。

動機與幾何詮釋

局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設 $X$ 為拓撲空間，$F:=ℝ$ 或 $ℂ$，且$x\in X$。考慮所有資料 $(f,U)$，其中 $U$ 是 $x$ 的一個開鄰域，而 $f:U\to F$ 是連續函數。引入等價關係：

$(f,U)\sim (g,V)⟺\mathrm{\exists }W\subset U\cap V,f{|}_W=g{|}_W$ 且 $W$ 是 $x$ 的開鄰域。

換言之，若兩個函數在 $x$ 附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環 ${\mathrm{\Gamma }}_x$，其元素稱作在 $x$ 的連續函數芽，它體現了連續函數在 $x$ 附近的行為。若 $s\in {\mathrm{\Gamma }}_x$ 滿足 $s(x)\ne 0$ ，則存在一個 $x$ 的開鄰域 $U$ 及連續函數 $f:U\to F$，使得 $[f,U]=s$ 且 $f$ 恆非零，因此可定義乘法逆元 $1/s:=[1/f,U]$。於是 ${\mathrm{\Gamma }}_x$ 是局部環，其唯一的極大理想是所有在 $x$ 點取零的函數，剩餘域則是 $F$。

類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形，稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。

在代數幾何與複幾何中，假設適當的有限性條件（例如凝聚性）， 若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。

在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

非交換的情形

一個含-{zh-hans:么;zh-hk:么;zh-tw:么;}-環 $R$ 被稱作局部環，若且唯若它滿足下述等價條件：

• R 僅有一個極大左理想。
• R 僅有一個極大右理想。
• $1\ne 0\in R$，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。
• $1\ne 0\in R$，且對任何元素 $x$，$x$ 或 $1-x$ 必有一者可逆。
• $1\ne 0\in R$，若 $R$ 中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立，則下述三者等同：

• R 的唯一極大左理想
• R 的唯一極大右理想
• R 的 Jacobson根

對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。

文獻

• Template:Springer
• H. Matsumura, Commutative algebra (1970), ISBN 0-8053-7026-9