希爾伯特模形式

在數學中，希爾伯特模形式是一類自守形式，對應於全實域 $K$ 及相應的群 ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{K/\mathbb{Q}}GL(2{)}_K$。這可以視作模形式的一種多變元推廣。當 $K=\mathbb{Q}$ 時，我們回到模形式的定義。

定義

對於 $m$ 次全實域 $K$、$𝒪$ 為其中的代數整數環、 ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_m:K\to ℝ$ 為相應的實嵌入映射。由此得到嵌入映射

$\mathrm{G}\mathrm{L}(2,F)\to \mathrm{G}\mathrm{L}(2,ℝ{)}^m,g\mapsto ({\sigma }_1(g),\dots ,{\sigma }_m(g))$

設 $\mathscr{H}=\mathrm{G}\mathrm{L}(2,ℝ)/\mathrm{S}\mathrm{O}(2,ℝ)$ 為上半平面，透過上述嵌入，${\mathrm{G}\mathrm{L}}^{+}(2,𝒪)$（指 $\mathrm{G}\mathrm{L}(2,𝒪)$ 中行列式為正的元素）作用於 ${\mathscr{H}}^m$ 上。

對 $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in GL(2,ℝ)$，定義自守因子之值為

$j(g,z)=(\det g{)}^{-\frac{1}{2}}(cz+d)$

權為 $(k_1,\cdots ,k_m)$ 之希爾伯特模形式是指 ${\mathscr{H}}^m$ 上滿足下述函數方程的全純函數

$\mathrm{\forall }\gamma \in {\mathrm{G}\mathrm{L}}^{+}(2,𝒪),f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j({\sigma }_i(\gamma ),z_i{)}^{k_i}f(z).$

此定義與模形式的差異在於：當 $K\ne \mathbb{Q}$ 時，不需要另加增長條件，這是 Koecher 定理的一個推論。

文獻

• Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
• Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5