對數凸函數

對數凸函數或超凸函數是指一函數f，其 $\log \circ f$（函數f取對數後的數值）仍為凸函數，其原函數即為對數凸函數。

定義

令Template:Math是实数向量空间內的凸集，令Template:Math為非負值的函數。則Template:Math為：

• 對數凸函數若$\log \circ f$為凸函數，
• 嚴格對數凸函數若$\log \circ f$嚴格凸函數。

此處視$\log 0$為$-\mathrm{\infty }$。

明顯可看出，Template:Math為對數凸函數若且唯若，針對所有Template:Math，以及所有Template:Math，以下二個等效的條件會成立：

$\begin{array}{cc}\log f(t{x}_1+(1-t)x_2)& \le t\log f(x_1)+(1-t)\log f(x_2),\\ f(t{x}_1+(1-t)x_2)& \le f(x_1{)}^{t}f(x_2{)}^{1-t}.\end{array}$

而Template:Math是嚴格對數凸函數若且唯若，在上述二個式子中，的小於等於都改為小於，在Template:Math範圍內都成立。

以上定義允許Template:Math等於零，但若Template:Math是對數凸函數，且在Template:Math內的任一處為零，則Template:Math需在Template:Math內部的所有位置都要為零。

等效條件

若Template:Math在定義在Template:Math區間的可微函數，則Template:Math為對數凸函數。若且唯若下式在所有Template:Math內的Template:Math和Template:Math都成立：

$\log f(x)\ge \log f(y)+\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}(x-y).$

這和以下條件等效，只要Template:Math和Template:Math在Template:Math內，且Template:Math，則下式成立：

${\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)}^{\frac{1}{x-y}}\ge \exp \left(\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}\right).$

而且Template:Math是嚴格對數凸函數若且唯若上述的不等式中，均為嚴格的不等式。

若Template:Math是二次可微，則其為對數凸函數若且唯若，針對所有在Template:Math內的Template:Math，

$f^{″}(x)f(x)\ge f^{\prime }(x{)}^2.$

若上述的不等式是嚴格不等式，則Template:Math是嚴格對數凸函數。不過，其反例不成立。有可能Template:Math是嚴格對數凸函數，且針對一些Template:Math，可以找到$f^{″}(x)f(x)=f^{\prime }(x{)}^2$。例如，若$f(x)=\exp (x^4)$，則Template:Math是嚴格對數凸函數，但$f^{″}(0)f(0)=0=f^{\prime }(0{)}^2$。

$f:I\to (0,\mathrm{\infty })$為對數凸函數，若且唯若$e^{\alpha x}f(x)$ 在所有$\alpha \in ℝ$內都是凸函數。

充份條件

若$f_1,\dots ,f_n$為對數凸函數，且$w_1,\dots ,w_n$為非負實數，則$f_1^{w_1}\cdots f_n^{w_n}$為對數凸函數。

若$\{f_i{\}}_{i\in I}$是一個對數凸函數的族，則$g=\underset{i\in I}{\sup }{f}_i$是對數凸函數。

若$f:X\to I\subseteq 𝐑$是凸函數，且$g:I\to {𝐑}_{\ge 0}$是非遞減的對數凸函數，則$g\circ f$是對數凸函數。

性質

對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。

對數凸函數f 本身是凸函數，因為這是遞增凸函數$\exp$及$\log \circ f$（依定義是凸函數）的复合函数。但凸函數和對數的复合函数不一定都是凸函數。像$g:x\mapsto x^2$是凸函數，但$\log \circ g:x\mapsto \log x^2=2\log |x|$不是凸函數，因此$g$不是對數凸函數。另一方面，$x\mapsto e^{x^2}$是對數凸函數，因為$x\mapsto \log e^{x^2}=x^2$是凸函數。

例子

• $f(x)=\exp (|x{|}^p)$是對數凸函數，若$p\ge 1$，若$p>1$，函數是嚴格對數凸函數。
• $f(x)=\frac{1}{x^p}$，針對所有的$p>0.$，在$(0,\mathrm{\infty })$範圍內，是嚴格對數凸函數。
• 正數上的Γ函数是對數凸函數。（參見Template:Le）。

參考資料

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
• Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.
• Template:Citation.
• Template:Citation.

相關條目

• Template:Le

外部連結

• Template:PlanetMath