对数微分法

Template:微积分学 对数微分法（Template:Lang-en）是在微积分学中，通过求某函数f的Template:Link-en来求得函数导数的一种方法，

$[\ln (f){]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}\to f^{\prime }=f\cdot [\ln (f){]}^{\prime }.$

这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用，这样的函数通常是几项的积，取对数之后，可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），把积变为求和，把商变为做差。这一方法可以应用于所有恆不为0的可微函数。

概述

对于某函数

$y=f(x)$

运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数。

$\ln |y|=\ln |f(x)|$

运用隐式微分法，可得

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$

两边同乘以y，则方程左边只剩下dy/dx：

$\frac{dy}{dx}=y\times \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=f^{\prime }(x).$

对数微分法有用，是因为对数的性质可以大大简化复杂函数的微分，常用的对数性质有：

$\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b),\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b),\ln (a^n)=n\ln (a)$

通用公式

有一如下形式的函数，

$f(x)=\prod _i(f_i(x){)}^{{\alpha }_i(x)}.$

两边取自然对数，得

$\ln (f(x))=\sum _i{\alpha }_i(x)\cdot \ln (f_i(x)),$

两边对x求导，得

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\sum _i[{{\alpha }_i}^{\prime }(x)\cdot \ln (f_i(x))+{\alpha }_i(x)\cdot \frac{{f_i}^{\prime }(x)}{f_i(x)}].$

两边同乘以$f(x)$，可得原函数的导数为

$f^{\prime }(x)=\stackrel{f(x)}{\overbrace{\prod _i(f_i(x){)}^{{\alpha }_i(x)}}}\times \stackrel{[\ln (f(x)){]}^{\prime }}{\overbrace{\sum _i\{{{\alpha }_i}^{\prime }(x)\cdot \ln (f_i(x))+{\alpha }_i(x)\cdot \frac{{f_i}^{\prime }(x)}{f_i(x)}\}}}$

应用

积函数

对如下形式的两个函数的积函数

$f(x)=g(x)h(x)$

两边取自然对数，可得如下形式的和函数

$\ln (f(x))=\ln (g(x)h(x))=\ln (g(x))+\ln (h(x))$

应用链式法则，两边微分，得

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}$

整理，可得

$f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=g(x)h(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}$

商函数

对如下形式的两个函数的商函数

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

两边取自然对数，可得如下形式的差函数

$\ln (f(x))=\ln \left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)=\ln (g(x))-\ln (h(x))$

应用链式法则，两边求导，得

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}$

整理，可得

$f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=\frac{g(x)}{h(x)}\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}$

右边通分之后，结果和对$f(x)$运用除法定则所得结果相同。

复合指数函数

对于如下形式的函数

$f(x)=g(x{)}^{h(x)}$

两边取自然对数，可得如下形式的积函数

$\ln (f(x))=\ln (g(x{)}^{h(x)})=h(x)\ln (g(x))$

应用链式法则，两边求导，得

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$

整理，得

$f^{\prime }(x)=f(x)\times \{h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\}=g(x{)}^{h(x)}\times \{h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}\}.$

与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。

参见

• 对数恒等式

外部链接

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