对合矩阵

在数学上， 对合矩阵是指逆为自身的矩阵，即，称矩阵$𝐀$是一个对合矩阵当且仅当${𝐀}^2=𝐈$。对合矩阵是单位矩阵的方根。 

例

如果$a^2+bc=1$，则2×2实矩阵 $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$  是对合矩阵。

三类基本矩阵中有一种是对合矩阵，即行交换的基本矩阵。 在特殊情况下，另一类的基本矩阵，即表示对行或列乘以 −1 的矩阵也是对合矩阵；实际上这是符号矩阵的一个特例——所有符号矩阵均是对合的。

下面是一些对合矩阵的简单例子。

$\begin{array}{cc}𝐈=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right);& {𝐈}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ \\ 𝐑=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right);& {𝐑}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\\ \\ 𝐒=\left(\begin{array}{ccc}+1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right);& {𝐒}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}+1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)\end{array}$

这里

$𝐈$ 是单位矩阵 (显然对合);

$𝐑$ 是交换过一对行的单位矩阵；

$𝐒$ 是符号矩阵。

显然，任何由对称矩阵构成的块-对角阵 构成的矩阵也是对合矩阵。

对称性

一个对称的对合矩阵也是一个正交矩阵，并因此表示一个保距变换 (保持欧几里德距离的线性变换)。反之，每个正交对合矩阵均是对称的。 一个特别的例子是，每个反射矩阵均是对合的。

性质

任何域上对合矩阵的行列式是±1.

如果 $𝐀$ 是一个 n × n 矩阵，则A是对合的当且仅当½(A + I)是 幂等的。 这一关系给出了对合矩阵和幂等矩阵之间的双射。

如果 $𝐀$ 是$M(n,ℝ)$（实数域上的矩阵代数）上的矩阵，则由 $𝐀$ 产生的子代数 {x I + y A: x、y ∈ℝ} 与双曲复数同构。

如果 $𝐀$和 $𝐁$ 两个对合矩阵可交换，则 $𝐀𝐁$ 也是对合的。

如果 $𝐀$ 是对合矩阵则 A 的任意自然数次幂均是对合的。 事实上， ${𝐀}^n$ 在 $n$ 是奇数时等于 $𝐀$，在 $n$ 是偶数时等于 $𝐈$。

另见

• 仿射对合