初等矩阵

Template:NoteTA Template:ScienceNavigation 线性代数中，初等矩阵（又稱為基本矩陣）是一个与单位矩阵只有微小区别的矩阵。具体来说，一个 n 阶单位矩阵 E 经过一次初等行变换或一次初等列变换所得矩阵称为 n 阶初等矩阵。

操作

初等矩阵分为3种类型，分别对应着3种不同的-{zh-cn:行; zh-tw:列}-/-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换。

两-{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）互换：

$R_i\leftrightarrow R_j$

把某-{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）乘以一非零常数：

$k{R}_i\to R_i,$其中$k\ne 0$

把第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-（-{zh-cn:列; zh-tw:行}-）的 k 倍：

$R_i+k{R}_j\to R_i$

初等矩阵即是将上述 3 种初等变换应用于一单位矩阵的结果。以下只讨论对某列的变换。

-{zh-cn:行; zh-tw:列}-互换

此变换 T_{i j} 将单位矩阵的第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的所有元素与第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-互换。

$T_{ij}=\left[\begin{array}{cccccccc}1& & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0& & 1& & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1& & 0& & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{array}\right]$

性质

• 逆矩阵即自身：$T_{ij}^{-1}=T_{ij}$。
• 因为单位矩阵的行列式为1，故 $\det T_{ij}=-1$。對所有階數相同的方阵 A 亦有以下性质：$\det T_{ij}A=-\det A$。

把某-{zh-cn:行; zh-tw:列}-乘以一非零常数

此变换 T_i(m) 将第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的所有元素乘以一個非零常数 m。

$T_i(m)=\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & m& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right]$

性质

• 逆矩阵为 $T_i(m{)}^{-1}=T_i(\frac{1}{m})$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为对角矩阵。
• 其行列式 $\det T_i(m)=m$，故對所有階數相同的方阵 A 都有 $\det (T_i(m)A)=m\det A$。

把第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的 m 倍

此变换 T_{i j}(m) 将第 i -{zh-cn:行; zh-tw:列}-加上第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的 m 倍，其中 m 为第 i -{zh-cn:列; zh-tw:行}-第 j -{zh-cn:行; zh-tw:列}-的元素。

$T_{ij}(m)=\left[\begin{array}{cccccccc}1& & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1& & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m& & 1& & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{array}\right]$

性质

• 逆矩阵具有性质 $T_{ij}(m{)}^{-1}=T_{ij}(-m)$。
• 此矩阵及其逆矩阵均为三角矩阵。
• 其行列式 $\det T_{ij}(m)=1$，故對所有階數相同的方阵 A 有 $\det (T_{ij}(m)A)=\det A$。

应用

在解线性方程组中的应用

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等-{zh-cn:行; zh-tw:列}-变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等-{zh-cn:列; zh-tw:行}-变换没有改变像却改变了核。

用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同列行数的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

另见

• 高斯消元法
• 线性方程组
• 矩阵

参考

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