对偶系统

数学中，域$𝕂$上的对偶系统或对偶对是指三元组$(X,Y,b)$，包含$𝕂$上的2个向量空间X、Y，以及非退化双线性映射$b:X\times Y\to 𝕂$。

对偶理论是对对偶系统的研究，在泛函分析中占有重要地位，并通过希尔伯特空间广泛应用于量子力学中。

定义、记号与惯例

配对

域$𝕂$上的配对（pairing或pair）是一个三元组$(X,Y,b)$，也可以用$b(X,Y)$表示， 包含$𝕂$上的两个向量空间X、Y及双线性映射$b:X\times Y\to 𝕂$，称作与配对关联的双线性映射Template:Sfn，或配对的映射，或其双线性形式。简单起见，本文只涉及$𝕂$是实数$ℝ$或复数$ℂ$的例子。

$\mathrm{\forall }x\subseteq X$，定义 $$\begin{array}{cccccc}b(x,\cdot ):& Y& & \to & & 𝕂\\ & y& & \mapsto & & b(x,y)\end{array}$$ $\mathrm{\forall }y\subseteq Y$，定义 $$\begin{array}{cccccc}b(\cdot ,y):& X& & \to & & 𝕂\\ & x& & \mapsto & & b(x,y).\end{array}$$ $\mathrm{\forall }b(x,\cdot )$是Y上的线性泛函，$\mathrm{\forall }b(\cdot ,y)$是X上的线性泛函。令 $$b(X,\cdot ):=\{b(x,\cdot ):x\in X\}\text{ and }b(\cdot ,Y):=\{b(\cdot ,y):y\in Y\}$$ 其中每个集合构成一个线性泛函的向量空间。

通常记$⟨x,y⟩$而非$b(x,y)$，这样配对不必写成$(X,Y,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$，而可以写成$⟨X,Y⟩$。不过，本文将用$⟨\cdot ,\cdot ⟩$表示求值映射（定义见下），以避免混淆。

对偶对

若双线性形式b是非退化的，则称配对$(X,Y,b)$是$𝕂$上的对偶系统或对偶对Template:Sfn ，满足下面两条分离公理：

1. Y分离（区分）X的点：若$x\in X$使得$b(x,\cdot )=0$，则$x=0$；等价地，对所有非零的$x\in X$，映射$b(x,\cdot ):Y\to 𝕂$不等同于$0$（即$\mathrm{\exists }y\in Y$使得$\mathrm{\forall }x\in X,b(x,y)\ne 0$）；
2. X分离（区分）Y的点：若$y\in Y$使得$b(\cdot ,y)=0$，则$y=0$；等价地，对所有非零的$y\in Y$，映射$b(\cdot ,y):X\to 𝕂$不等同于$0$（即$\mathrm{\exists }x\in X$使得$\mathrm{\forall }y\in Y,b(x,y)\ne 0$）。

这样b是非退化的，可以说b将X、Y置于（分离）对偶中（places in (separated) duality），b是三元组$(X,Y,b)$的对偶配对（duality pairing）。Template:SfnTemplate:Sfn

全子集

若$\mathrm{\forall }x\in X$, $$b(x,s)=0\mathrm{\forall }s\in S$$能推出$x=0$，则称$S\in Y$为全集。 X的全子集定义相似（见脚注）。因此，当且仅当X是X的全子集，X分离Y中所有点，对Y亦然。

正交性

若$b(x,y)=0$，称向量x、y正交，记作$x\perp y$。若$b(R,S)=\{0\}$，称两子集$R\subseteq X$、$S\subseteq Y$正交，记作$R\perp S$；即$\mathrm{\forall }r\in R$、$s\in S$，$b(r,s)=0$。子集正交于向量的定义与之类似。

子集$R\subseteq X$的正交补或零化子是 $$R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}$$. 于是，当且仅当$R^{\perp }=\{0\}$，R是X的全子集。

极集

Template:Main 给定在$𝕂$上定义了对偶对的三元组$(X,Y,b)$，子集$A\subseteq X$的绝对极集或极集是集合$$A^{\circ }:=\{y\in Y:\underset{x\in A}{\sup }|b(x,y)|\le 1\}.$$对称地，子集$B\subseteq Y$的绝对极集或极集记作$B^{\circ }$，定义为 $$B^{\circ }:=\{x\in X:\underset{y\in B}{\sup }|b(x,y)|\le 1\}.$$

为了使用有助于跟踪对偶性两侧不对称的标记，子集$B\subseteq B$的绝对极也可以称为B的绝对预极（absolute prepolar）或预极（prepolar），可表为${}^{\circ }B$。Template:Sfn

极$B^{\circ }$必然是凸集，包含$0\in Y$，若B平衡，则$B^{\circ }$也平衡；若B是X的向量子空间，则$B^{\circ }$是Y的向量子空间。Template:Sfn

若A是X的向量子空间，则$A^{\circ }=A^{\perp }$，还等于A的实极。若$A\subseteq X$，则A的双极（bipolar，记作$A^{\circ \circ }$）是A正交补的极，即集${}^{\circ }\left(A^{\perp }\right)$。相似地，若$B\subseteq Y$，则B的双极是$B^{\circ \circ }:={\left({}^{\circ }B\right)}^{\circ }$。

对偶的定义与结果

给定对$(X,Y,b)$，定义新对$(Y,X,d)$，其中$\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\forall }y\in Y,d(y,x):=b(x,y)$。Template:Sfn 对偶理论有个一贯的主题：任何对$(X,Y,b)$都有相应的对偶对$(Y,X,d)$。

Template:Em：给定配对$(X,Y,b)$的任何定义，将其应用于配对$(Y,X,d)$，就能得到对偶定义。这约定也适用于定理。

例如，若X分离Y的点（或者说S是Y的全子集）定义如上，则此约定立即产生了对偶定义：Y分离X的点（或者说S是X的全子集）。 下面的写法几乎无处不在，可让我们不用为d指定符号。

Template:Em：若配对$(X,Y,b)$的定义及其记号取决于X和Y的顺序（例如，X上的麦奇拓扑$\tau (X,Y,b)$），那么交换X、Y顺序就意味着定义适用于$(Y,X,d)$（接上例，拓扑$\tau (Y,X,b)$实际上是拓扑$\tau (Y,X,d)$）。

再比如，一旦定义了X上的弱拓扑$\sigma (X,Y,b)$，则此对偶定义就会自动应用到配对$(Y,X,d)$，从而得到Y上弱拓扑的定义——$\sigma (Y,X,b)$而非$\sigma (Y,X,d)$。

$(X,Y)$及$(Y,X)$的识别

虽然从技术上将这是不正确的，也是对符号的滥用，但本文将遵守几乎普遍的管理，及将配对$(X,Y,b)$与$(Y,X,d)$互换处理，并用$(Y,X,b)$表示$(Y,X,d)$。

例子

配对的限制

设$(X,Y,b)$是配对，M是X的向量子空间，N是Y的向量子空间。则，$(X,Y,b)$对$M\times N$的限制就是配对$(M,N,b{|}_{M\times N})$。若$(X,Y,b)$是对偶，则限制就有可能不对偶（如，若$Y\ne \{0\}$、$N=\{0\}$）。

本文将使用通常做法，用$(M,N,b)$表示限制$(M,N,b{|}_{M\times N})$。

向量空间上的规范对偶

设X是向量空间，令$X^{\mathrm{\#}}$表示X的代数对偶空间（即，X上所有线性泛函的空间）。则有规范对偶$(X,X^{\mathrm{\#}},c)$，其中$c(x,x^{\prime })=⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$，称之为$X\times X^{\mathrm{\#}}$上的求值映射或自然/规范双线性泛函。

注意$\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in X^{\mathrm{\#}}$，$c(\cdot ,x^{\prime })$只是表示$x^{\prime }$的另一种方式，即$c(\cdot ,x^{\prime })=x^{\prime }(\cdot )=x^{\prime }.$

若N是$X^{\mathrm{\#}}$的一个向量子空间，则$(X,X^{\mathrm{\#}},c)$对$X\times N$的限制称作规范配对。若此配对是对偶，则称为规范对偶。显然X总是分离N的点，因此当且仅当N分离X中的点，规范配对是对偶系统。 下列记号现在在对偶理论中几乎无处不在。

求值映射记作$⟨x,x^{\prime }⟩=x^{\prime }(x)$（而非c），将$(X,N,c)$改为$⟨X,N⟩$。

假设：按惯例，若X是向量空间，N是X上线性泛函的向量空间，则除非另有说明，否则将假定它们同规范配对$⟨X,N⟩$相关联。

若N是$X^{\mathrm{\#}}$的向量子空间，则当且仅当N分离X的点（或等价地，N是全的，$\mathrm{\forall }n\in N,n(x)=0$能推出$x=0$），X分离N的点（或等价地，$(X,N,c)$是对偶），Template:Sfn

拓扑向量空间上的规范对偶

设X是拓扑向量空间，有连续对偶空间$X^{\prime }$。 则，规范对偶$(X,X^{\mathrm{\#}},c)$对$X\times X^{\prime }$的限制确定了配对$(X,X^{\prime },c{|}_{X\times X^{\prime }})$，其中X分离$X^{\prime }$的点。 若$X^{\prime }$分离X的点（例如，若X是豪斯多夫局部凸空间，则恒为真），则此配对形成了对偶。Template:Sfn

假设：正如通常所作，只要X是拓扑向量空间，则除非另有说明，否则将假定其与规范配对$⟨X,X^{\prime }⟩$相关联，无需注释。

拓扑向量空间的极与对偶

下列结果表明，拓扑向量空间上的连续线性泛函恰是在原点邻域上有界的线性泛函。

内积空间与复共轭空间

预希尔伯特空间$(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$，当且仅当H是$ℝ$上的向量空间，或H是0维，$(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$是对偶对。这里假定半双线性形式$⟨\cdot ,\cdot ⟩$在第二坐标上是共轭齐次的，在第一坐标上是齐次的。

1. 若$(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$是实希尔伯特空间，则$(H,H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$形成对偶系统。
2. 若$(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$是复希尔伯特空间，则当且仅当$\dim H=0$，$(H,H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$形成对偶系统。若H非平凡，则$(H,H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$甚至不是配对，因为内积是半双线性的，而非双线性的。Template:Sfn

设$(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$是复预希尔伯特空间，标量乘法用并列或$\cdot$表示。 定义映射 $$\cdot \perp \cdot :ℂ\times H\to H\text{ by }c\perp x:=\bar{c}x,$$ 其中右式使用了H的标量乘法。令$\bar{H}$表示H的复共轭向量空间，其中$\bar{H}$表示加群$(H,+)$（所以$\bar{H}$中的向量加法与H中的相同），但$\bar{H}$中的标量乘法是映射$\cdot \perp \cdot$（而非H被赋予的标量乘法）。

映射$b:H\times \bar{H}\to ℂ$定义为$b(x,y):=⟨x,y⟩$，在两个坐标中都是线性的，因此$(H,\bar{H},⟨\cdot ,\cdot ⟩)$形成对偶对。

其他例子

1. 设$X={ℝ}^2,Y={ℝ}^3,\mathrm{\forall }(x_1,y_1)\in X\text{ and }(x_2,y_2,z_2)\in Y,$令$$b((x_1,y_1),(x_2,y_2,z_2)):=x_1{x}_2+y_1{y}_2.$$则$(X,Y,b)$是配对，使X区分Y的点，但Y不区分X的点。此外，$X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in ℝ\}.$
2. 令$0<p<\mathrm{\infty },X:=L^p(\mu ),Y:=L^q(\mu )$（其中q满足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$），$b(f,g):=\int fg\mathrm{d}\mu .$则$(X,Y,b)$是对偶系统。
3. 令X、Y是同一域$𝕂$上的向量空间，则双线性形式$b(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*})=⟨x^{\prime },x⟩⟨y^{\prime },y⟩$使$X\times Y$与$X^{\mathrm{\#}}\times Y^{\mathrm{\#}}$对偶。Template:Sfn
4. 序列空间X及其Beta-对偶空间$Y:=X^{\beta }$，双线性映射定义为$\mathrm{\forall }x\in X,y\in X^{\beta },⟨x,y⟩:=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{y}_i$形成对偶系统。

弱拓扑

Template:Main 设$(X,Y,b)$是$𝕂$上一对向量空间。若$S\subseteq Y$，则X上由S（和b）诱导的弱拓扑是X上最弱的拓扑向量空间拓扑，记作$\sigma (X,S,b)$或$\sigma (X,S)$，使y在S上取值时所有映射$b(\cdot ,y):X\to 𝕂$连续。Template:Sfn若S在语境中不明确，则应假定是Y的全部，这时称之为X上（由Y诱导的）的弱拓扑。 $X_{\sigma (X,S,b)},X_{\sigma (X,S)},$或（若无混淆）$X_{\sigma }$用于表示赋有弱拓扑$\sigma (X,S,b)$的X。 重要的是，弱拓扑完全取决于函数b、$ℂ$上的通常拓扑与X上的向量空间结构，而与Y的代数结构无关。 同样，若$R\subseteq X$，则Y上由R（和b）诱导的弱拓扑的对偶定义记作$\sigma (Y,R,b)$或$\sigma (Y,R)$（细节见脚注）。

Template:Em：若$\sigma (X,Y,b)$附在一个拓扑定义上（如$\sigma (X,Y,b)$-收敛、$\sigma (X,Y,b)$-有界、${\mathrm{cl}}_{\sigma (X,Y,b)}(S)$等等），则就意味着当定义的第一个空间（即X）携带$\sigma (X,Y,b)$拓扑。若无混淆，可以不提及b甚至X、Y。例如，若Y中序列${\left(a_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$“$\sigma$-收敛”或“弱收敛”，这意味着它收敛于$(Y,\sigma (Y,X,b))$，而若它是X中的序列，则意味着它收敛于$(X,\sigma (X,Y,b))$）。

拓扑$\sigma (X,Y,b)$是局部凸的，因为它由$p_y(x):=|b(x,y)|$定义的半范数族$p_y:X\to ℝ$确定，其中y在Y上取值。Template:Sfn 若$x\in X,{\left(x_i\right)}_{i\in I}$是X中的网，则若${\left(x_i\right)}_{i\in I}$在$(X,\sigma (X,Y,b))$中收敛到x，${\left(x_i\right)}_{i\in I}$$\sigma (X,Y,b)$-收敛于x。Template:Sfn网${\left(x_i\right)}_{i\in I}$，当且仅当$\mathrm{\forall }y\in Y,b(x_i,y)$收敛到$b(x,y)$，$\sigma (X,Y,b)$-收敛到x。

若${\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$是希尔伯特空间中的正交规范向量列，则${\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$弱收敛到0，但不会规范收敛（norm-convergence）到0（或任意向量）。Template:Sfn

若$(X,Y,b)$是配对，N是Y的一个适当的向量子空间，使得$(X,N,b)$是对偶对，则$\sigma (X,N,b)$比$\sigma (X,Y,b)$严格粗。Template:Sfn

有界子集

子集$S\subseteq X$，当且仅当$$\underset{}{\sup }|b(S,y)|<\mathrm{\infty }\text{ for all }y\in Y,$$，其中$|b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}$，称S$\sigma (X,Y,b)$-有界。

豪斯多夫性

若$(X,Y,b)$是配对，则下列条件等价：

1. X分离Y的点；
2. 映射$y\mapsto b(\cdot ,y)$定义了Y到X的代数对偶空间的单射；Template:Sfn
3. $\sigma (Y,X,b)$是豪斯多夫空间。Template:Sfn

弱表示定理

下列定理对对偶理论至关重要，因为它完全表征了$(X,\sigma (X,Y,b))$的连续对偶空间。

因此，$(X,\sigma (X,Y,b))$的连续对偶空间是 $$(X,\sigma (X,Y,b){)}^{\prime }=b(\cdot ,Y):=\{b(\cdot ,y):y\in Y\}.$$

关于规范配对，若X是拓扑向量空间，其连续对偶空间$X^{\prime }$分离X的点（即使$(X,\sigma (X,X^{\prime }))$豪斯多夫，这可推出X也必豪斯多夫），则$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))$的连续对偶空间等于x在X中取值时所有“点x处得值”的映射集合（即将$x^{\prime }\in X^{\prime }$送到$x^{\prime }(x)$的映射）。 通常写成 $${(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))}^{\prime }=X\text{ or }{\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime }=X.$$ 这一重要事实就是为什么连续对偶空间上极拓扑的成果（如$X^{\prime }$上的强对偶拓扑$\beta (X^{\prime },X)$）能应用到原拓扑向量空间X的。例如，将X视作${\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime }$意味着${\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime }$上的拓扑$\beta ({\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime },X_{\sigma }^{\prime })$可被视作X上的拓扑。 此外，若$X^{\prime }$被赋予比$\sigma (X^{\prime },X)$更细的拓扑，那么$X^{\prime }$的连续对偶空间必然包含${\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime }$（作为子集）。 例如，$X^{\prime }$被赋予强对偶拓扑（于是记作$X_{\beta }^{\prime }$），则 $${\left(X_{\beta }^{\prime }\right)}^{\prime }\supseteq {\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)}^{\prime }=X$$

这允许X被赋予由强对偶拓扑$\beta ({\left(X_{\beta }^{\prime }\right)}^{\prime },X_{\beta }^{\prime })$在X上诱导的子空间拓扑（此拓扑也称作强双对偶拓扑，见于自反空间理论：豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X，若${\left(X_{\beta }^{\prime }\right)}^{\prime }=X$则称其是半自反空间，若在此之外，其在X上的强双对偶拓扑$\beta ({\left(X_{\beta }^{\prime }\right)}^{\prime },X_{\beta }^{\prime })$还等于X的原/初拓扑，则称其是自反空间。

正交、商与子空间

若$(X,Y,b)$是配对，则对X的任意子集S：

1. $S^{\perp }=(\mathrm{span}S{)}^{\perp }={({\mathrm{cl}}_{\sigma (Y,X,b)}\mathrm{span}S)}^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }$，且此集合是$\sigma (Y,X,b)$-闭的；Template:Sfn
2. $S\subseteq S^{\perp \perp }=({\mathrm{cl}}_{\sigma (X,Y,b)}\mathrm{span}S)$；Template:Sfn

• 因此，若S是X的$\sigma (X,Y,b)$-闭向量子空间，则$S\subseteq S^{\perp \perp }.$

1. 若${\left(S_i\right)}_{i\in I}$是X的$\sigma (X,Y,b)$-闭向量子空间族，则

$${\left(\bigcap _{i\in I}{S}_i\right)}^{\perp }={\mathrm{cl}}_{\sigma (Y,X,b)}(\mathrm{span}\left(\bigcup _{i\in I}{S}_i^{\perp }\right)).$$Template:Sfn

1. 若${\left(S_i\right)}_{i\in I}$是X的子集族，则

${\left(\bigcup _{i\in I}{S}_i\right)}^{\perp }=\bigcap _{i\in I}{S}_i^{\perp }.$Template:Sfn

若X是赋范空间，则根据规范对偶性，$S^{\perp }$在$X^{\prime }$中对范是封闭的，$S^{\perp \perp }$在X中对范是封闭的。Template:Sfn

子空间

设M是X的向量子空间，并令$(M,Y,b)$表示$(X,Y,b)$对$M\times Y$的限制。 M上的弱拓扑$\sigma (M,Y,b)$与M从$(X,\sigma (X,Y,b))$继承的子空间拓扑相同。

另外，$(M,Y/M^{\perp },b{|}_M)$是配对空间（paired space）（其中$Y/M^{\perp }$是$Y/\left(M^{\perp }\right)$），其中$b{|}_M:M\times Y/M^{\perp }\to 𝕂$定义为 $$(m,y+M^{\perp })\mapsto b(m,y).$$

拓扑$\sigma (M,Y/M^{\perp },b{|}_M)$等于M继承自$(X,\sigma (X,Y,b))$的子空间拓扑。Template:Sfn 此外，若$(X,\sigma (X,Y,b))$是对偶系统，则$(M,Y/M^{\perp },b{|}_M)$也是。Template:Sfn

商

设M是X的向量子空间，则$(X/M,M^{\perp },b/M)$是配对空间，其中$b/M:X/M\times M^{\perp }\to 𝕂$定义为 $$(x+M,y)\mapsto b(x,y).$$

拓扑$\sigma (X/M,M^{\perp })$等同于$(X,\sigma (X,Y,b))$在$X/M$上诱导的一般的商拓扑。Template:Sfn

极与弱拓扑

弱X是局部凸空间，且若H是连续对偶空间$X^{\prime }$的子集，则当且仅当对X中某桶B，有$H\subseteq B^{\circ }$时，H是$\sigma (X^{\prime },X)$-有界的。Template:Sfn

下列结果对定义极拓扑非常重要。 若$(X,Y,b)$是配对，$A\subseteq X,$则Template:Sfn

1. A的极$A^{\circ }$是$(Y,\sigma (Y,X,b))$的闭子集。

1. 下列集合的极相同：(a) A；(b) A的凸壳；(c) A的平衡壳；(d) A的$\sigma (X,Y,b)$-闭合；(e) A的凸平衡壳的$\sigma (X,Y,b)$-闭合。

1. 双极定理：A的双极$A^{\circ \circ }$等于A的凸平衡壳的$\sigma (X,Y,b)$-闭合。

• 双极定理“是处理对偶性时不可或缺的工具”。Template:Sfn

1. 当且仅当$A^{\circ }$吸收于Y时，A是$\sigma (X,Y,b)$-有界的。
2. 若Y还分离X的点，则当且仅当A是$\sigma (X,Y,b)$-全有界时，A是$\sigma (X,Y,b)$-有界的。

若$(X,Y,b)$是配对，$\tau$是X上与对偶一致的局部凸拓扑，则当且仅当B是Y的某$\sigma (Y,X,b)$-有界子集的极时，$B\subseteq X$是$(X,\tau )$中的桶。Template:Sfn

转置

线性映射关于配对的转置

Template:See also 令$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$是$𝕂$上的配对，并令$F:X\to W$是线性映射。

$\mathrm{\forall }z\in Z,$令$c(F(\cdot ),z):X\to 𝕂$是由$x\mapsto c(F(x),z)$定义的映射。 若满足以下条件，就可以说F的转置或伴随是良定的（well-defined）：

1. X分离Y中的点（或等价地，从Y抵达代数对偶$X^{\mathrm{\#}}$的映射$y\mapsto b(\cdot ,y)$是单射），且
2. $c(F(\cdot ),Z)\subseteq b(\cdot ,Y),$其中$c(F(\cdot ),Z):=\{c(F(\cdot ),z):z\in Z\},b(\cdot ,Y):=\{b(\cdot ,y):y\in Y\}.$

这样，$\mathrm{\forall }z\in Z$存在（由条件2）唯一的（由条件1）$y\in Y$，使$c(F(\cdot ),z)=b(\cdot ,y)$，其中Y的这个元素将表为${}^{t}F(z)$。这定义了线性映射 $${}^{t}F:Z\to Y$$

称作F的转置或关于$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$的伴随（注意不要与厄米伴随混淆）。不难看出，上述两个条件（即“转置良定义”）也是${}^{t}F$良定的必要条件。 $\mathrm{\forall }z\in Z$，${}^{t}F(z)$的定义条件是 $$c(F(\cdot ),z)=b(\cdot ,{}^{t}F(z)),$$ 即， $$\mathrm{\forall }x\in X,c(F(x),z)=b(x,{}^{t}F(z)).$$

根据本文开头提到的约定，这也定义了形式为$Z\to Y,$ $X\to Z,$ $W\to Y,$ $Y\to W,$等的线性映射的转置（见脚注）。

转置的性质

$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$是$𝕂$上的配对，$F:X\to W$是线性映射，其转置${}^{t}F:Z\to Y$是良定义的。

• 当且仅当F的范围在$(W,\sigma (W,Z,c))$中稠密时，${}^{t}F:Z\to Y$是单射（即$\ker {}^{t}F=\{0\}$）。Template:Sfn
• 若除了${}^{t}F$良定义外，${}^{t}F$的转置也良定义，则${}^{tt}F=F$。
• 设$(U,V,a)$是$𝕂$上的配对，$E:U\to X$是线性映射，其转置${}^{t}E:Y\to V$是良定义的，则$F\circ E:U\to W$的转置${}^t(F\circ E):Z\to V$也是良定义的，且${}^t(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.$
• 若$F:X\to W$是向量空间同构，则${}^{t}F:Z\to Y$是双射，$F^{-1}:W\to X$的转置${}^t\left(F^{-1}\right):Y\to Z$是良定义的，且${}^t\left(F^{-1}\right)={\left({}^{t}F\right)}^{-1}$Template:Sfn
• 令$S\subseteq X$，$S^{\circ }$表示A的绝对极，则Template:Sfn
  1. $[F(S){]}^{\circ }={\left({}^{t}F\right)}^{-1}\left(S^{\circ }\right)$；
  2. 若$\mathrm{\forall }T\subseteq W,F(S)\subseteq T$，则${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$；
  3. 若$T\subseteq W$使得${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$，则$F(S)\subseteq T^{\circ \circ }$；
  4. 若$T\subseteq W$，$S\subseteq X$是弱闭圆盘，则当且仅当$F(S)\subseteq T$时，${}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }$；
  5. $\ker {}^{t}F=[F(X){]}^{\perp }.$

将绝对极换成实极，这些结果不变。

若X、Y是规范对偶下的赋范空间、$F:X\to Y$是连续线性映射，则$\Vert F\Vert =\Vert {}^{t}F\Vert$。Template:Sfn

弱连续性

线性映射$F:X\to W$，若$F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))$连续，则称其（关于$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$）弱连续。

下面的结果表明，转置映射的存在与弱拓扑密切相关。

弱拓扑与规范对偶

设X是向量空间，$X^{\mathrm{\#}}$是其代数对偶。则X的所有$\sigma (X,X^{\mathrm{\#}})$-有界子集包含于有限维向量子空间，X的所有向量子空间是$\sigma (X,X^{\mathrm{\#}})$-闭的。Template:Sfn

弱完备性

若$(X,\sigma (X,Y,b))$是完备拓扑向量空间，例如X是$\sigma (X,Y,b)$-完备或（若无歧义）弱完备的情形。 存在不弱完备的巴拿赫空间（尽管在其范拓扑中是完备的）。Template:Sfn

若X是向量空间，则在规范对偶下，$(X^{\mathrm{\#}},\sigma (X^{\mathrm{\#}},X))$是完备的。Template:Sfn 相反，若Z是豪斯多夫局部凸拓扑向量空间，且有连续对偶空间$Z^{\prime }$，则当且仅当$Z={\left(Z^{\prime }\right)}^{\mathrm{\#}}$时，$(Z,\sigma (Z,Z^{\prime }))$是完备的；即，当且仅当将$z\in Z$发送到z处求值映射（即$z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)$）的映射$Z\to {\left(Z^{\prime }\right)}^{\mathrm{\#}}$是双射。Template:Sfn

特别地，就规范对偶而言，若Y是$X^{\mathrm{\#}}$的向量子空间，使Y分离X中的点，则当且仅当$Y=X^{\mathrm{\#}}$，$(Y,\sigma (Y,X))$是完备的。 换句话说，$X^{\mathrm{\#}}$不存在紧合向量子空间$Y\ne X^{\mathrm{\#}}$使得$(X,\sigma (X,Y))$是豪斯多夫空间，且Y在弱-*拓扑（即逐点收敛的拓扑）中完备。 因此，若豪斯多夫局部凸拓扑向量空间X的连续对偶空间$X^{\prime }$ 被赋以弱*-拓扑，当且仅当$X^{\prime }=X^{\mathrm{\#}}$（即X上所有线性泛函都连续）时，$X_{\sigma }^{\prime }$是完备的。

Y与代数对偶的子空间的等同

若X分离Y的点、Z表示单射$y\mapsto b(\cdot ,y)$的范围，则Z是X的代数对偶空间的向量子空间，且配对$(X,Y,b)$与规范配对$⟨X,Z⟩$（其中$⟨x,x^{\prime }⟩:=x^{\prime }(x)$是自然求值映射）是规范等同（canonically identify）的。 特别地，这时我们将不失一般性地假设Y是X代数对偶的向量子空间，而b是求值映射。

Template:Em：通常，只要$y\mapsto b(\cdot ,y)$是单射（尤其当$(X,Y,b)$形成对偶对），通常不失一般性地假设Y是X的代数对偶空间的向量子空间，且b是自然求值映射，Y还可记作$X^{\prime }$。

完全类似的是，若Y分离X中的点，则X就有可能等同于Y的代数对偶空间的向量子空间。Template:Sfn

代数伴随

在对偶是规范对偶$⟨X,X^{\mathrm{\#}}⟩$和$⟨W,W^{\mathrm{\#}}⟩$的特例下，线性映射$F:X\to W$的转置总是良定义的。 此转置称作F的代数伴随，记作$F^{\mathrm{\#}}$； 即$F^{\mathrm{\#}}={}^{t}F:W^{\mathrm{\#}}\to X^{\mathrm{\#}}.$ 这样，$\mathrm{\forall }{w}^{\prime }\in W^{\mathrm{\#}},F^{\mathrm{\#}}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F$Template:SfnTemplate:Sfn其中$F^{\mathrm{\#}}\left(w^{\prime }\right)$的定义条件是 $$⟨x,F^{\mathrm{\#}}\left(w^{\prime }\right)⟩=⟨F(x),w^{\prime }⟩\mathrm{\forall }>x\in X,$$ 或等价地$F^{\mathrm{\#}}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\mathrm{\forall }x\in X.$

若对整数n，$X=Y={𝕂}^n$，$ℰ=\{e_1,\dots ,e_n\}$是X的基，其对偶基${ℰ}^{\prime }=\{e_1^{\prime },\dots ,e_n^{\prime }\},F:{𝕂}^n\to {𝕂}^n$是线性算子，F关于$ℰ$的矩阵表示是$M:=\left(f_{i,j}\right)$，则M的转置是$F^{\mathrm{\#}}$关于${ℰ}^{\prime }$的矩阵表示。

弱连续性与开性

设$⟨X,Y⟩$，$⟨W,Z⟩$是对偶系统的规范配对（所以$Y\subseteq X^{\mathrm{\#}},Z\subseteq W^{\mathrm{\#}}$），并令$F:X\to W$是线性映射。则当且仅当$F:X\to W$满足下列等价条件之一，F是弱连续的：Template:Sfn

1. $F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))$连续；
2. $F^{\mathrm{\#}}(Z)\subseteq Y$
3. F的转置${}^{t}F:Z\to Y$相对于$⟨X,Y⟩$和$⟨W,Z⟩$是良定义的。

若F是弱连续的，则${}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))$是连续的，于是${}^{tt}F=F$Template:Sfn

拓扑空间之间的映射$g:A\to B$，若$g:A\to \mathrm{Im}g$是开映射（$\mathrm{Im}g$是g的范围），则称之是相对开的。Template:Sfn

设$⟨X,Y⟩,⟨W,Z⟩$是对偶系统，$F:X\to W$是弱连续线性映射。则下列条件等价：Template:Sfn

1. $F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))$是相对开的；
2. ${}^{t}F$的范围在Y中$\sigma (Y,X)$-闭；
3. $\mathrm{Im}{}^{t}F=(\ker F{)}^{\perp }$

此外

• 当且仅当${}^{t}F$是满射（或双射），$F:X\to W$是单射（或双射）；
• 当且仅当${}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))$是相对开单射，$F:X\to W$是满射。

拓扑向量空间之间映射的转置

当且仅当F是弱连续的，两拓扑向量空间之间映射的转置才被定义。

设$F:X\to Y$是两豪斯多夫局部凸拓扑向量空间之间的线性映射，则Template:Sfn

• 若F连续，则其是弱连续的，且${}^{t}F$是麦基连续的，也是强连续的；
• 若F是弱连续的，则其是麦基连续的，也是强连续的（定义见下）。
• 若F是弱连续的，则当且仅当${}^{t}F{:}^{\prime }\to X^{\prime }$将$Y^{\prime }$的等度连续子集映射到$X^{\prime }$的等度连续子集时，F才是连续的。
• 若X和Y是赋范空间，则当且仅当F是弱连续的（这时$\Vert F\Vert =\Vert {}^{t}F\Vert$），F连续。
• 若F连续，则当且仅当$F:X\to Y$是弱相对开的（即$F:(X,\sigma (X,X^{\prime }))\to (Y,\sigma (Y,Y^{\prime }))$是相对开的）、且$\mathrm{Im}{}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)$的等度连续子集都是$Y^{\prime }$的某等度连续子集的像时，F是相对开的。
• 若F是连续单射，则当且仅当$X^{\prime }$的等度连续子集都是$Y^{\prime }$的某等度连续子集的像，$F:X\to Y$是拓扑向量空间嵌入（或等价的拓扑嵌入）。

可度量化性与可分性

令X是局部凸空间，有连续对偶空间$X^{\prime }$，并令$K\subseteq X^{\prime }$。Template:Sfn

1. 若K是等度连续或$\sigma (X^{\prime },X)$-紧的，且$D\subseteq X^{\prime }$使得$\mathrm{span}D$在X中稠密，则K从$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },D))$继承的子空间拓扑等同于K从$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))$继承的子空间拓扑。
2. 若X是可分的、K是等度连续的，则K被赋予由$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))$诱导的子空间拓扑后是可度量化的。
3. 若X是可分、可度量化的，则$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))$是可分的。
4. 若X是赋范空间，则当且仅当给定由$(X^{\prime },\sigma (X^{\prime },X))$诱导的子空间拓扑，X的连续对偶空间的封闭单元（X的连续对偶空间）可度量时，X是可分的。
5. 若X是赋范空间，其连续对偶空间可分（给定通常的范拓扑）时，X可分。

极拓扑与同配对相容的拓扑

Template:Main 从弱拓扑开始，极基的使用会产生一系列局部凸拓扑。这样的拓扑称作极拓扑，弱拓扑是其中最弱的。

$(X,Y,b)$将是$𝕂$上的配对，$𝒢$将是X的$\sigma (X,Y,b)$-有界子集的非空集合。

极拓扑

Template:Main 给定X子集的集合$𝒢$，Y上由$𝒢$（与b）定义的极拓扑（或Y上的$𝒢$-拓扑）是Y上唯一的拓扑向量空间拓扑，其中 $$\{r{G}^{\circ }:G\in 𝒢,r>0\}$$ 形成了原点邻域的子基。Template:Sfn Y被赋予这$𝒢$-拓扑时，就表示为$Y_{𝒢}$。极拓扑都需要是局部凸的。Template:Sfn $𝒢$是关于子集包含的有向集合时（即若$\mathrm{\forall }G,K\in 𝒢$，$\mathrm{\exists }K\in 𝒢$使得$G\cup H\subseteq K$），则此0处的邻域子基实际上形成了0处的邻域基。Template:Sfn

下面列出了一些较重要的极拓扑。

Template:Em：若$\mathrm{\Delta }(X,Y,b)$表示Y上的极拓扑，则呗赋予此拓扑的Y将记作$Y_{\mathrm{\Delta }(Y,X,b)},Y_{\mathrm{\Delta }(Y,X)}$或$Y_{\mathrm{\Delta }}$（如对$\sigma (Y,X,b)$我们有$\mathrm{\Delta }=\sigma$，这样$Y_{\sigma (Y,X,b)},Y_{\sigma (Y,X)}$和$Y_{\sigma }$都表示赋予了$\sigma (X,Y,b)$的Y）。

$𝒢\subseteq 𝒫X$ （“…上一致收敛的拓扑”）	记作	名称（“…的拓扑”）	又称
X的有限子集 （或X有限子集的$\sigma (X,Y,b)$-闭圆盘化壳）	$\sigma (X,Y,b)$ $s(X,Y,b)$	逐点/简单收敛	弱/弱-*拓扑
$\sigma (X,Y,b)$-紧圆盘	$\tau (X,Y,b)$		麦基拓扑
$\sigma (X,Y,b)$-紧凸子集	$\gamma (X,Y,b)$	紧凸收敛
$\sigma (X,Y,b)$-紧子集 （或平衡$\sigma (X,Y,b)$-紧子集）	$c(X,Y,b)$	紧收敛
$\sigma (X,Y,b)$-有界子集	$b(X,Y,b)$ $\beta (X,Y,b)$	有界收敛	强拓扑 最强的极拓扑

与极拓扑有关的定义

连续性 若$F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))$连续，则线性映射$F:X\to W$是（关于$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$）麦基连续的。Template:Sfn

若$F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))$是连续的，则线性映射$F:X\to W$是（关于$(X,Y,b)$和$(W,Z,c)$）强连续的。Template:Sfn

有界子集

X的子集，若在$(X,\sigma (X,Y,b))$（或$(X,\tau (X,Y,b))$、$(X,\beta (X,Y,b))$）中有界，则称X是弱有界（或麦基有界、强有界）。

同配对相容的拓扑

弱$(X,Y,b)$是$𝕂$上的配对，$𝒯$是X上的向量拓扑，则$𝒯$是配对的拓扑，且若其局部凸、$(X,𝒯)$的连续对偶空间$=b(\cdot ,Y)$，则称之与配对$(X,Y,b)$相容或一致。 若X分离Y的点，则Y可视作X的代数对偶的向量子空间，定义条件变为${(X,𝒯)}^{\prime }=Y.$Template:Sfn有人（如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999]）要求配对的拓扑也要是豪斯多夫的，Template:SfnTemplate:Sfn若Y分离X的点（这些学者假设），则必须是豪斯多夫的。

弱拓扑$\sigma (X,Y,b)$同配对$(X,Y,b)$相容（如弱表示定理所示），事实上是最弱的拓扑。还有一种与这种配对相容的最强拓扑，即麦基拓扑。 若N是非自反的赋范空间，则其连续对偶空间上通常的范拓扑同对偶$(N^{\prime },N)$不相容。Template:Sfn

麦基–阿伦定理

Template:Main 下面是对偶理论中最重要的定理之一。

由此可见，麦基拓扑$\tau (X,Y,b)$是由Y中所有$\sigma (X,Y,b)$-紧圆盘生成的极拓扑，是X上与配对 $(X,Y,b)$相容的最强局部凸拓扑。 给定拓扑与麦基拓扑相同的局部凸空间称作麦基空间。 上述麦基-阿伦定理的一下结果也称作麦基-阿伦定理。

麦基定理、桶与闭凸集

若X是（$ℝ$或$ℂ$上的）拓扑向量空间，则半空间（half-space）是形式为$\{x\in X:f(x)\le r\}$的集合。（r是实数，f是X上的连续实值线性泛函）

上述定理说明，局部凸空间的闭子集和凸子集完全取决于连续对偶空间。于是，在任何与配对相容的拓扑中，闭子集和凸子集都相同；即，若$𝒯$、$ℒ$是X上的任意局部凸拓扑，且有同样的连续对偶空间，则当且仅当X的凸子集在$ℒ$拓扑中封闭，，此子集也在$𝒯$拓扑中封闭。 这说明，X任意凸子集的$𝒯$-闭等同于其$ℒ$-闭，对X中任意$𝒯$-闭圆盘A，$A=A^{\circ \circ }$。Template:Sfn 特别地，若B是X的一个子集，则当且仅当B是$(X,ℒ)$中的桶时，B也是$(X,ℒ)$中的桶。Template:Sfn

下面的定理说明，桶（即闭吸收圆盘）恰是弱有界子集的极。

若X是拓扑向量空间，则Template:SfnTemplate:Sfn

1. X的闭吸收平衡子集B吸收X的所有凸紧子集（即存在正实数r使得$rB$包含此集）。
2. 若X是豪斯多夫局部凸的，则X中每个桶都吸收X的每个凸有界完备子集。

所有这些都引出了麦基定理，这是对偶系统理论的核心定理之一。简言之，定理支出，对符合相同对偶性的两豪斯多夫局部凸拓扑，有界子集是相同的。

有限序列空间

令X表示标量$r_{\bullet }={\left(r_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$的所有序列的空间，且对所有足够大的i都有$r_i=0$。 令$Y=X$，定义双线性映射$b:X\times X\to 𝕂$为 $$b(r_{\bullet },s_{\bullet }):=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i{s}_i.$$ 则$\sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b)$。Template:Sfn 此外，当且仅当存在正实数序列$m_{\bullet }={\left(m_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$，使得$\left|t_i\right|\le m_i,\mathrm{\forall }{t}_{\bullet }={\left(t_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\in T$、及所有指标i（或还有$m_{\bullet }\in X$）时，子集$T\subseteq X$是$\sigma (X,X,b)$-有界（或$\beta (X,X,b)$-有界）的。Template:Sfn

由此可见，X的子集中有弱有界（即$\sigma (X,X,b)$-有界）的，但没有强有界（即无$\beta (X,X,b)$-有界）的。

另见

• Beta对偶空间
• 双正交系统
• 对偶空间
• 对偶拓扑
• 对偶 (数学)
• 内积
• L半内积
• 配对 (数学)
• 极集
• 极拓扑
• 约化对偶对
• 强对偶空间
• 线性映射空间泛函
• 弱拓扑

书目

• Template:Cite book
• Michael Reed and Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. Template:ISBN.
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外部链接

• Duality Theory

Template:泛函分析 Template:凸分析与变分分析