可测函数

可测函数（Template:Lang-en）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。

重要範例

實可測函數

取本節定義中的 $Y$ 為实数系 $ℝ$ ，然後取：

$ℐ=\{A\in 𝒫(ℝ)|(\mathrm{\exists }a)(\mathrm{\exists }b)[(a,b\in ℝ)\wedge (A=(a,b))]\}$

${ℬ}_{ℝ}:=\sigma (ℐ)=\bigcap \left\{\mathrm{\Sigma }\right|(\mathrm{\Sigma }\text{ is a sigma algebra.})\wedge (ℐ\subseteq \mathrm{\Sigma })\}$

換句話說，${ℬ}_{ℝ}$ 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到 $ℐ$ 本身是個拓扑基），那麼這樣的${\mathrm{\Sigma }}_X$ - ${ℬ}_{ℝ}$ 可測函數 $f$ ，通常會簡稱為 ${\mathrm{\Sigma }}_X$ - 實可測函數；甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。

博雷爾函数

Template:Main 如果$(X,{\tau }_X)$ 與 $(Y,{\tau }_Y)$ 正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代数：

$\sigma ({\tau }_X)=\bigcap \left\{\mathrm{\Sigma }\right|(\mathrm{\Sigma }\text{ is a sigma algebra.})\wedge ({\tau }_X\subseteq \mathrm{\Sigma })\}$

$\sigma ({\tau }_Y)=\bigcap \left\{\mathrm{\Sigma }\right|(\mathrm{\Sigma }\text{ is a sigma algebra.})\wedge ({\tau }_Y\subseteq \mathrm{\Sigma })\}$

換句話說，$\sigma ({\tau }_X)$ 是由 $X$ 上开集所生成的博雷爾代數；$\sigma ({\tau }_Y)$ 是由 $Y$ 上开集所生成的博雷爾代數，那這樣 $\sigma ({\tau }_X)$ - $\sigma ({\tau }_X)$ 可测函数 $f$ 又称为 ${\tau }_X$ - ${\tau }_Y$ 博雷爾函数（Borel function）。

根據拓撲空間连续函數的定義， ${\tau }_X$ - ${\tau }_Y$ 博雷爾函数必定 ${\tau }_X$ - ${\tau }_Y$ 連續，但反之不成立，原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

證明

以下將逐條檢驗 $\mathrm{\Sigma }$ 是否符合σ代數的定義 (1) $Y\in \mathrm{\Sigma }$ 因為： $f^{-1}(Y)=\{x\in X|(\mathrm{\exists }y\in Y)[f(x)=y]\}=X\in {\mathrm{\Sigma }}_X$ 所以 $Y\in \mathrm{\Sigma }$。 (2) $B\in \mathrm{\Sigma }$ ，則 $Y-B\in \mathrm{\Sigma }$ 若 $B\in \mathrm{\Sigma }$ ，因為： $f^{-1}(Y-B)=\{x\in X|(\mathrm{\exists }y)\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\}\}=X-f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X$ 所以 $Y-B\in \mathrm{\Sigma }$ 。 (3)可數個并集仍在 $\mathrm{\Sigma }$ 中 若 $\{B_1,B_2,\dots \}\subseteq \mathrm{\Sigma }$ ，那因為： $f^{-1}(\bigcup \{B_1,B_2,\dots \})=\{x\in X|(\mathrm{\exists }y)\{[f(x)=y]\wedge (\mathrm{\exists }i\in N)(y\in B_i)\}\}=\bigcup \{f^{-1}(B_1),f^{-1}(B_2),\dots \}\in {\mathrm{\Sigma }}_X$ 所以 $\bigcup \{B_1,B_2,\dots \}\in \mathrm{\Sigma }$ 。 綜上所述， $\mathrm{\Sigma }$ 的確是$Y$ 的σ代數。$◻$

證明

(1 $\Rightarrow$ 2) 若對所有 $B\in {ℱ}_Y$ 都有： $f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X$ 換句話說： ${ℱ}_Y\subseteq \{B\in 𝒫(Y)|f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X\}$ 那根據本節之定理(1)和最小σ代数 $\sigma ({ℱ}_Y)$ 的定義有： $\sigma ({ℱ}_Y)\subseteq \{B\in 𝒫(Y)|f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X\}$ 換句話說，只要 $B\in \sigma ({ℱ}_Y)$ 就有 $f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X$，故 $f$ 是 ${\mathrm{\Sigma }}_X$ - $\sigma ({ℱ}_Y)$ 可測函數。$◻$ (2 $\Rightarrow$ 1) 若對所有$B\in \sigma ({ℱ}_Y)$ 都有 $f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X$，換句話說： ${ℱ}_Y\subseteq \sigma ({ℱ}_Y)\subseteq \{B\in 𝒫(Y)|f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X\}$ 這樣的話，的確可以從 $B\in {ℱ}_Y$ 推出 $f^{-1}(B)\in {\mathrm{\Sigma }}_X$ 。$◻$

證明

根據定理(2)， $g\circ f$ 為 ${\mathrm{\Sigma }}_X$- $\sigma ({\tau }_Z)$可測函數等價於： 「對所有的 $C\in {\tau }_Z$ ， ${(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in {\mathrm{\Sigma }}_X$」 但因為$g$ 為 ${\tau }_Y$ - ${\tau }_Z$ 连续函數，故： 「對所有的 $C\in {\tau }_Z$ ， $g^{-1}(C)\in {\tau }_Y\subseteq \sigma ({\tau }_Y)$」 但 $f$ 又為 ${\mathrm{\Sigma }}_X$- $\sigma ({\tau }_Y)$可測函數，故可以得到 $f^{-1}[g^{-1}(C)]\in {\mathrm{\Sigma }}_X$ ，所以本定理得証。$◻$

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 卢辛定理

勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

$\{x\in ℝ:f(x)>a\}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果$A$是实数轴$ℝ$的一个不可测子集，那么它的指示函数$1_A(x)$是不可测的。

参见

• 可测函数的向量空间：$L^p$空间
• 保测动态系统