积测度

数学中，给出可测空间和其上的测度，可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集合的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。

设$(X_1,{\mathrm{\Sigma }}_1)$和$(X_2,{\mathrm{\Sigma }}_2)$是两个测度空间，就是说${\mathrm{\Sigma }}_1$和${\mathrm{\Sigma }}_2$分别是在$X_1$和$X_2$上的σ代数，又设${\mu }_1$和${\mu }_2$是其上的测度。以${\mathrm{\Sigma }}_1\times {\mathrm{\Sigma }}_2$记形如$B_1\times B_2$的子集产生的笛卡儿积$X_1\times X_2$上的σ代数，其中$B_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1$及$B_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$。

积测度${\mu }_1\times {\mu }_2$定义为在可测空间$(X_1\times X_2,{\mathrm{\Sigma }}_1\times {\mathrm{\Sigma }}_2)$上唯一的测度，适合

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(B_1\times B_2)={\mu }_1(B_1){\mu }_2(B_2)$

对所有

$B_1\in {\mathrm{\Sigma }}_1,B_2\in {\mathrm{\Sigma }}_2$。

事实上对所有可测集E，

$({\mu }_1\times {\mu }_2)(E)=\underset{X_2}{\int }{\mu }_1(E_y){\mu }_2(dy)=\underset{X_1}{\int }{\mu }_2(E_x){\mu }_1(dx)$，

其中$E_x=\{y\in X_2|(x,y)\in E\}$，$E_y=\{x\in X_1|(x,y)\in E\}$，两个都是可测集。

这测度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯尔莫哥洛夫定理.

欧几里得空间Rⁿ上的博雷尔测度可得自n个实数轴R上的博雷尔测度的积。