合成列

在抽象代數中，合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 $\{0\}=M_0\subset \cdots \subset M_n=M$，使每個子商 $M_i/M_{i+1}$ 皆為單模；這些單模稱為合成因子，$n$ 稱為合成長度，都是 $M$ 的不變量。亦可考慮 $M$ 的子模範疇 $𝒜$，此時 $[M]\in K(𝒜)$ 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。

群的情形

設 $G$ 為群，$G$ 的合成列是對應於一族子群

$\{e\}=H_0\subset H_1\subset \cdots \subset H_n=G$

滿足 $H_i◃H_{i+1}$，使其子商 $H_{i+1}/H_i$ 皆為非平凡的單群；易言之，$H_i$ 是 $H_{i+1}$ 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。

模的情形

固定環 $R$ 及 $R$-模 $M$。$M$ 的合成列是一族子模

$\{0\}=J_0\subset \cdots \subset J_n=M$

其中每個子商 $J_{k+1}/J_k$ 皆為非平凡的單模 。易言之，$J_k$ 是 $J_{k+1}$ 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 $R$ 是阿廷環，根據 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 $R$-模皆有合成列。

例子

例子. 考慮 12 階循環群 $C_{12}$，它具有三個相異的合成列

$C_1◃C_2◃C_6◃C_{12}$,

$C_1◃C_2◃C_4◃C_{12}$,

$C_1◃C_3◃C_6◃C_{12}$

合成因子分別為

$C_2,C_3,C_2$

$C_2,C_2,C_3$

$C_3,C_2,C_2$

其間僅差個置換。

若尔当-赫尔德定理

定理. 若群 $G$〔或 $R$-模 $M$〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。

略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

$\{0\}=M_0\subset \cdots \subset M_r=M$

$\{0\}=M{\text{'}}_0\subset \cdots \subset M{\text{'}}_s=M$

對 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(r,s)$ 行數學歸納法。若 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(r,s)=0$ 則 $M=0$，若 $\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(r,s)=1$ 則 $M$ 是單模。以下假定 $r,s\ge 2$。

若 $M_{r-1}=M_{s-1}$，據歸納法假設，$r-1=s-1$ 且 $M_{i+1}/M_i$ 與 $M{\text{'}}_{i+1}/M{\text{'}}_i$（$0\le i\le r-2$）之間僅差置換。此外 $M/M_{r-1}=M_{/}M{\text{'}}_{s-1}$，故定理成立。

設 $M_{r-1}\ne M{\text{'}}_{s-1}$。此時必有 $M_{r-1}+M{\text{'}}_{s-1}=M$。置 $N:=M_{r-1}\cap M{\text{'}}_{s-1}$，於是

$M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M{\text{'}}_{s-1})/M_{r-1}\simeq M{\text{'}}_{s-1}/N$

$M/M{\text{'}}_{s-1}=(M_{r-1}+M{\text{'}}_{s-1})/M{\text{'}}_{s-1}\simeq M_{r-1}/N$

取 $N$ 的合成列 $\{0\}=K_0\subset \cdots \subset K_t=N$，依上式知

$\{0\}=K_0\subset \cdots \subset K_t=N\subset M_{r-1}\subset M\dots (*)$

$\{0\}=K_0\subset \cdots \subset K_t=N\subset M{\text{'}}_{s-1}\subset M\dots (**)$

皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 $M$，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 $M_{\bullet },M{\text{'}}_{\bullet }$ 的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。

參見

• 正規列
• 長度 (模論)

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