双伽玛函数

复平面上的双伽玛函数$\psi (s)$。点$s$的颜色与$\psi (s)$的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值，而色彩则与辐角有关。

双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

它是第一个多伽玛函数。

与调和数的关系

双伽玛函数，通常用ψ₀(x)、ψ⁰(x)或$Ϝ$来表示，与调和数有以下的关系：

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

其中H_n是第n个调和数，γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值，它可以表示为：

$\psi (n+\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^n\frac{2}{2k-1}$

积分表示法

它有以下的积分表示法：

$\psi (x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{e^{-t}}{t}-\frac{e^{-xt}}{1-e^{-t}})dt$

也可以写为

$\psi (s+1)=-\gamma +\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-x^s}{1-x}dx$

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数

双伽玛函数有一个有理ζ级数，由z=1的泰勒级数给出。这是

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\zeta (k+1)(-z{)}^k$,

当|z|<1时收敛。在这里，$\zeta (n)$是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数

双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出：

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$

其中$(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})$是二项式系数。

反射公式

双伽玛函数满足一个反射公式，类似于伽玛函数的反射公式：

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \left(\pi x\right)$

递推关系

双伽玛函数满足以下的递推关系：

$\psi (x+1)=\psi (x)+\frac{1}{x}$

高斯和

双伽玛函数具有以下形式的高斯和：

$\frac{-1}{\pi k}\sum _{n=1}^k\sin \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\psi \left(\frac{n}{k}\right)=\zeta (0,\frac{m}{k})=-B_1\left(\frac{m}{k}\right)=\frac{1}{2}-\frac{m}{k}$

其中m是整数，且$0<m<k$。在这里，ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数，$B_n(x)$是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是：

$\sum _{n=1}^k\psi \left(\frac{n}{k}\right)=-k(\gamma +\log k),$

一个推广为：

$\sum _{p=0}^{q-1}\psi (a+\frac{p}{q})=q[\psi (qa)-\ln (q)],$

其中假设了q是自然数，而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理

对于正整数$m$和$k$ $(m<k)$，双伽玛函数可以用初等函数来表示：

$\psi \left(\frac{m}{k}\right)=-\gamma -\ln (2k)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{m\pi }{k}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor }\cos \left(\frac{2\pi nm}{k}\right)\ln \sin \left(\frac{n\pi }{k}\right)$

特殊值

双伽玛函数有以下的特殊值：

$\psi (1)=-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{2}\right)=-2\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{\pi }{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\ln 3-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{\pi }{2}-3\ln 2-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{6}\right)=-\frac{\pi }{2}\sqrt{3}-2\ln 2-\frac{3}{2}\ln 3-\gamma$

$\psi \left(\frac{1}{8}\right)=-\frac{\pi }{2}-4\ln 2-\frac{\sqrt{2}}{2}[\pi +\ln (3+2\sqrt{2})]-\gamma$

$\psi \left(\frac{3}{4}\right)=\frac{\pi }{2}-3\ln 2-\gamma$

参见

• 伽玛函数
• 三伽玛函数
• 多伽玛函数

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第§6.3Template:Wayback节。
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