切比雪夫滤波器

四阶第一类切比雪夫低通滤波器的频率响应图

切比雪夫滤波器（又译柴比雪夫滤波器，Template:Lang-en），也被稱為等漣波濾波器（equal ripple filter），是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。在通带波动的为“I型切比雪夫滤波器”，在阻带波动的为“II型切比雪夫滤波器”。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅频特性不如后者平坦。切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。

这种滤波器来自切比雪夫多项式，因此得名，用以纪念俄罗斯数学家巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（Пафнутий Львович Чебышёв）。

特性

I型切比雪夫滤波器

I型切比雪夫滤波器最为常见。

n阶第一类切比雪夫滤波器的幅度与频率的关系可用下列公式表示：

$G_n(\omega )=|H_n(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{ϵ}^2{T}_n^2\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}}$

其中：

• $|ϵ|<1$
• 而$|H({\omega }_0)|=\frac{1}{\sqrt{1+{ϵ}^2}}$ 是滤波器在截止频率${\omega }_0$的放大率Template:Citation needed
• $T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)$ 是 $n$阶切比雪夫多项式：

切比雪夫多项式

切比雪夫多项式

$T_n(\mathrm{\Omega })=\cos (n\cdot \arccos \mathrm{\Omega });0\le \mathrm{\Omega }\le 1$

$T_n(\mathrm{\Omega })=\cosh (n\cdot \mathrm{(}arccosh\mathrm{\Omega });\mathrm{\Omega }>1$

其中 $\mathrm{\Omega }=\frac{\omega }{{\omega }_0}$

或:

$T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)=a_0+a_1\frac{\omega }{{\omega }_0}+a_2{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2+\cdots +a_n{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^n;0\le \omega \le {\omega }_0$

$T_n\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)=\frac{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2-1}\right)}^n+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\sqrt{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2-1}\right)}^{-n}}{2};\omega >{\omega }_0$

n	切比雪夫多项式
0	1
1	$\mathrm{\Omega }$
2	$-1+2*{\mathrm{\Omega }}^2$
3	$4{\mathrm{\Omega }}^3-3\mathrm{\Omega }$
4	$1+8{\mathrm{\Omega }}^4-8{\mathrm{\Omega }}^2$
5	$16{\mathrm{\Omega }}^5-20{\mathrm{\Omega }}^3+5\mathrm{\Omega }$
6	$-1+32{\mathrm{\Omega }}^6-48{\mathrm{\Omega }}^4+18*{\mathrm{\Omega }}^2$
7	$64{\mathrm{\Omega }}^7-112{\mathrm{\Omega }}^5+56{\mathrm{\Omega }}^3-7\mathrm{\Omega }$
8	$1+128{\mathrm{\Omega }}^8-256{\mathrm{\Omega }}^6+160{\mathrm{\Omega }}^4-32{\mathrm{\Omega }}^2$
9	$256{\mathrm{\Omega }}^9-576{\mathrm{\Omega }}^7+432{\mathrm{\Omega }}^5-120{\mathrm{\Omega }}^3+9\mathrm{\Omega }$
10	$-1+512{\mathrm{\Omega }}^{10}-1280{\mathrm{\Omega }}^8+1120{\mathrm{\Omega }}^6-400{\mathrm{\Omega }}^4+50{\mathrm{\Omega }}^2$

切比雪夫滤波器的阶数等于此滤波器的电子线路内独立的电抗元件（或元件组）数。

切比雪夫滤波器的幅度波动 = $20{\log }_{10}\sqrt{1+{ϵ}^2}$分贝

当 $ϵ=1$,切比雪夫滤波器的幅度波动= 3分贝。

如果需要幅度在在阻频带边上衰减得更陡峭，可允许在复平面的 $j\omega$轴上存在零点。但结果会使通频带内振幅波动较大，而在阻频带内对信号抑制较弱。 这种滤波器叫椭圆函数滤波器或考尔滤波器。

II型切比雪夫滤波器

也称倒数切比雪夫滤波器，较不常用，因为频率截止速度不如I型快，也需要用更多的电子元件。II型切比雪夫滤波器在通频带内没有幅度波动，只在阻频带内有幅度波动。

II型切比雪夫滤波器的转移函数为：

${|H(\omega )|}^2=\frac{1}{1+\frac{1}{{ϵ}^2{T}_n^2({\omega }_0/\omega )}}$

参数 ε 与 阻频带的 衰减度 γ 有如下关系：

$ϵ=\frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma }-1}}$ 分贝。

5分贝衰减度相当于ε = 0.6801; 10分贝衰减度相当于 ε = 0.3333。

截止频率 f_C = ω_C/2 π。

-3分贝频率f_H 和截止频率 f_C 有如下关系：

$f_H=f_C\cosh \left(\frac{1}{n}{\cosh }^{-1}\frac{1}{ϵ}\right)$

使用范围

• 如果需要快速衰减而允许通频带存在少许幅度波动，可用第一类切比雪夫滤波器；如果需要快速衰减而不允许通频带存在幅度波动，可用第二类切比雪夫滤波器。

与其他滤波器的比较

下图比较四种同阶低通滤波器：（左上）巴特沃斯滤波器、（右上）I型切比雪夫滤波器、（左下）II型切比雪夫滤波器（右下）椭圆函数滤波器。

两类切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器陡峭； 但不如椭圆函数滤波器，然而后者幅度波动较大。

参考

• 贝塞耳滤波器
• 巴特沃斯滤波器
• 梳状滤波器
• 椭圆函数滤波器

参考文献

• Rolf Schaumann,Haiqiao Xiao, Mac E.van Valkenburg, Analog Filter Design, 2nd Indian Edition, Oxford University Press, 2013
• Adel S. Sedra, Peter O. Brackett, Filter Theory and Design:Active and Passive, Matri Publishers Inc,1978