切比雪夫函數

切比雪夫第二函數$\psi (x)$在Template:Math時的圖像

在數學上，切比雪夫函數（Chebyshev Function）可指一個標量化函數（切比雪夫加權標量化函數），或兩個彼此相關的函數的其中之一。

切比雪夫第一函數（First Chebyshev Function）在文獻中一般記做$\vartheta (x)$或$\theta (x)$，其形式如下：

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p$

其中$\log$是自然對數，而切比雪夫第一函數就是所有小於等於Template:Mvar的質數Template:Mvar的自然對數的總和。

切比雪夫第二函數（Second Chebyshev Function）在文獻中一般記做$\psi (x)$，其定義類似，為所有小於等於Template:Mvar的質數Template:Mvar的冪的自然對數的總和，而其形式如下：

$\psi (x)=\sum _{k\in \mathbb{N}}\sum _{p^k\le x}\log p=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p\le x}\lfloor {\log }_{p}x\rfloor \log p,$

其中$\mathrm{\Lambda }$是馮·曼戈爾特函數。切比雪夫函數，尤其切比雪夫第二函數$\psi (x)$，經常出現於與質數相關的數學證明中，而這是因為這些函數比質數計數函數$\pi (x)$還容易處理之故。可見下等式一節說明。

切比雪夫第一及第二函數都與Template:Mvar呈現非病態關係，而這點等價於質數定理。

除了上述的切比雪夫第一及第二函數外，還有個與上述無關無關的切比雪夫加權標量化函數（Tchebycheff function或weighted Tchebycheff scalarizing function）或切比雪夫效用函數（Chebyshev utility function），其形式如下：

$f_{Tchb}(x,w)=\underset{i}{\max }{w}_i{f}_i(x).$

藉由最小化這方程式不同$w$的數值，可得到Template:Link-en的每個點，甚至是非凸性的部分。很多時候，要最小化的不是$f_i$，而是在給定標量$z_i^{*}$的狀況下$|f_i-z_i^{*}|$的數值，而在這種狀況下有$f_{Tchb}(x,w)=\underset{i}{\max }{w}_i|f_i(x)-z_i^{*}|.$。

這三個函數皆以帕夫努季·利沃维奇·切比雪夫為名，唯本文的主題是數論上的切比雪夫第一及第二函數，切比雪夫加權標量化函數與這兩函數無關，也不會出現在接下來的討論中。

切比雪夫第一及第二函數的關係

切比雪夫第一及第二函數彼此相關，要驗證這點，可先將切比雪夫第二函數寫成如下形式：

$\psi (x)=\sum _{p\le x}k\log p$

其中Template:Mvar是使得$p^k\le x<p^{k+1}$的唯一整數，而Template:Mvar的值可參見Template:OEIS2C。一個更直接的關係如下：

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right).$

注意的是和的後半段只有有限多個非零數值，而這是因為有下式之故：

$\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right)=0\text{for}n>{\log }_{2}x=\frac{\log x}{\log 2}.$

切比雪夫第二函數是從1到Template:Mvar所有數的最小公倍數的自然對數：

$\mathrm{lcm}(1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.$

對於Template:Mvar而言，Template:Math的值可參見Template:OEIS2C。

以下定理將$\frac{\psi (x)}{x}$及$\frac{\vartheta (x)}{x}$這兩個分數給聯繫起來。

定理：若$x>0$則有

$0\le \frac{\psi (x)}{x}-\frac{\vartheta (x)}{x}\le \frac{(\log x{)}^2}{2\sqrt{x}\log 2}.$

注意：從此不等式可推出

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{\psi (x)}{x}-\frac{\vartheta (x)}{x})=0.$

換句話說，若$\psi (x)/x$或$\vartheta (x)/x$其中一個趨近某個極限，則另一個也是如此，也就是兩者的極限相等。

證明：由於$\psi (x)=\sum _{n\le {\log }_{2}x}\vartheta (x^{1/n})$，因此有

$0\le \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\le n\le {\log }_{2}x}\vartheta (x^{1/n}).$

而由$\vartheta (x)$的定義，可得以下明顯的不等式：

$\vartheta (x)\le \sum _{p\le x}\log x\le x\log x$

因此有

$\begin{array}{cc}0\le \psi (x)-\vartheta (x)& \le \sum _{2\le n\le {\log }_{2}x}{x}^{1/n}\log (x^{1/n})\\ & \le ({\log }_{2}x)\sqrt{x}\log \sqrt{x}\\ & =\frac{\log x}{\log 2}\frac{\sqrt{x}}{2}\log x\\ & =\frac{\sqrt{x}(\log x{)}^2}{2\log 2}.\end{array}$

最後，將此不等式兩邊除以$x$，即可得定理的不等式。

非病態關係及上下界

對於切比雪夫函數，有以下已知的界線。其中Template:Math是第Template:Mvar個質數，也就是Template:Math、Template:Math等等：Template:RefTemplate:Ref

$\begin{array}{cccc}\vartheta (p_k)& \ge k(\log k+\log \log k-1+\frac{\log \log k-2.050735}{\log k})& & \text{for }k\ge 10^{11},\\ [8px]\vartheta (p_k)& \le k(\log k+\log \log k-1+\frac{\log \log k-2}{\log k})& & \text{for }k\ge 198,\\ [8px]|\vartheta (x)-x|& \le 0.006788\frac{x}{\log x}& & \text{for }x\ge 10544111,\\ [8px]|\psi (x)-x|& \le 0.006409\frac{x}{\log x}& & \text{for }x\ge e^{22},\\ [8px]0.9999\sqrt{x}& <\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}& & \text{for }x\ge 121.\end{array}$

此外，若黎曼猜想成立，則對於任意的$\epsilon >0$而言，有以下關係式：

$\begin{array}{cc}|\vartheta (x)-x|& =O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right)\\ |\psi (x)-x|& =O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right)\end{array}$

對任意的$x>0$而言，切比雪夫第一函數$\vartheta (x)$及第二函數$\psi (x)$有以下的上界： Template:Ref

$\begin{array}{cc}\vartheta (x)& <1.000028x\\ \psi (x)& <1.03883x\end{array}$

對於1.03883這常數的解釋，可見Template:OEIS2C的說明。

等式

1895年，漢斯·馮·曼戈爾特證明了Template:Ref$\psi (x)$有以下作為黎曼ζ函數非平凡零點和的Template:Link-en：

${\psi }_0(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).$

其中Template:Math的數值為Template:Math、Template:Mvar遍歷黎曼ζ函數的所有非平凡零點，而Template:Math是一個與Template:Mvar類似的函數，但差別是其在跳躍不連續點（質數的冪）的取值為其左邊與右邊值的中間：

${\psi }_0(x)=\frac{1}{2}(\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)+\sum _{n<x}\mathrm{\Lambda }(n))=\{\begin{array}{cc}\psi (x)-\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }(x)& x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px]\psi (x)& \text{otherwise.}\end{array}$

就自然對數的泰勒展開式而言，解析解的最後一項可理解為Template:Math對黎曼ζ函數平凡零點Template:Math的求和。也就是說，

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2k}}{-2k}=\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}).$

類似地，此公式第一項Template:Math對應到黎曼ζ函數在1的單純極點。這部分作為極點而非零點的事實，說明了項的變號。

性質

一個由埃哈德·施密特證明的結果指稱，對於某個特定的正常數Template:Mvar，存在有無限多個正整數Template:Mvar使得

$\psi (x)-x<-K\sqrt{x}$

同時有無限多個正整數Template:Mvar使得

$\psi (x)-x>K\sqrt{x}.$Template:RefTemplate:Ref

使用[[大O符號|小Template:Mvar符號]]，可將上式重述為

$\psi (x)-x\ne o\left(\sqrt{x}\right).$

哈代與李特爾伍德Template:Ref證明了一個更強的結果，表述如下：

$\psi (x)-x\ne o(\sqrt{x}\log \log \log x).$

也就是說有無限多的正整數Template:Mvar，使得$\psi (x)$與Template:Mvar之間的差的絕對值超過$\sqrt{x}\log \log \log x$。

與質數階乘的關係

切比雪夫第一函數也是Template:Mvar的質數階乘Template:Math的對數：

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\log p=\log \prod _{p\le x}p=\log \left(x\mathrm{\#}\right).$

這說明了質數階乘Template:Math非病態地等於Template:Math，其中Template:Mvar是小Template:Mvar符號（見大O符號一文的說明），而這點與質數定理共同確立了Template:Math的非病態行為。

與質數計數函數間的關係

切比雪夫函數可透過下式與與質數計數函數發生關係。定義

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log n}.$

那麼有

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)\underset{n}{\overset{x}{\int }}\frac{dt}{t{\log }^{2}t}+\frac{1}{\log x}\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\psi (t)dt}{t{\log }^{2}t}+\frac{\psi (x)}{\log x}.$

從Template:Math到質數計數函數Template:Mvar間的轉換可由下式表示：

$\mathrm{\Pi }(x)=\pi (x)+\frac{1}{2}\pi \left(\sqrt{x}\right)+\frac{1}{3}\pi \left(\sqrt[3]{x}\right)+\cdots$

由於很明顯地，有Template:Math之故，因此為了估計的目的，最後的關係式可重述如下：

$\pi (x)=\mathrm{\Pi }(x)+O\left(\sqrt{x}\right).$

黎曼猜想

黎曼猜想指稱說黎曼ζ函數任意的非顯著零點的實部的值為Template:Sfrac。在這種狀況下，有Template:Math，且可證明說

$\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }=O\left(\sqrt{x}{\log }^{2}x\right).$

由上式可推得

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x).$

平滑化函數

平滑化切比雪夫函數定義如下：

${\psi }_1(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (t)dt.$

顯然有${\psi }_1(x)\sim \frac{x^2}{2}.$

參考資料

• Template:Note Template:Link-en, "Estimates of some functions over primes without R.H.". Template:Arxiv
• Template:Note Pierre Dusart, "Sharper bounds for Template:Mvar, Template:Mvar, Template:Mvar, Template:Math", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The Template:Mathth prime is greater than Template:Math for Template:Math", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
• Template:NoteErhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.
• Template:NoteG .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
• Template:NoteTemplate:Link-en (2000). 可見於《Multiplicative Number Theory Template:Wayback》一書。 Springer. p. 104. Template:Isbn. Google Book Search.

額外補充

• Template:Citation

外部連結

• Template:Mathworld
• Template:Planetmathref
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• Riemann's Explicit Formula Template:Wayback, with images and movies