不连续点

Template:About Template:微积分学 不连续点，又称间断点，分段点（Template:Lang-en），通常是在單變數實变函數的環境下討論。令$E\subseteq ℝ,f:E\to ℝ$，且若$c\in ℝ$(不一定要在$E$中)，若$f$在$c$不連續，則稱$f$在那裡有個不連續點、$c$為一個$f$的不連續點。

分类

根据不同不连续点的性质，通常把不连续点分为两类：

1. 第一类不连续点：
   1. 可去不连续点：不连续点两侧函数的极限存在且相等 。
   2. 跳跃不连续点：不连续点两侧函数的极限存在，但不相等；
2. 第二类不连续点：

不属于第一类不连续点的任何一种不连续点都属于第二类不连续点。第二类不连续点可以进一步分为无穷不连续点和震荡不连续点。

例子

可去不连续点

1. 考虑以下函数：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{ for }x<1\\ 0& \text{ for }x=1\\ 2-x& \text{ for }x>1\end{array}$

点$x_0=1$是可去不连续点。

跳跃不连续点

2. 考虑以下函数：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2& \text{ for }x<1\\ 0& \text{ for }x=1\\ 2-(x-1{)}^2& \text{ for }x>1\end{array}$

点$x_0=1$是跳跃不连续点。

第二类不连续点

3. 考虑以下函数：

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{5}{x-1}& \text{ for }x<1\\ 0& \text{ for }x=1\\ \frac{0.1}{x-1}& \text{ for }x>1\end{array}$

点$x_0=1$是第二类不连续点，又称本性不连续点。

外部链接

• Template:Planetmath reference
• "Discontinuity" Template:Wayback by Ed Pegg, Jr., The Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Template:MathWorld