兰道问题

在1912年国际数学家大会中，愛德蒙·蘭道列出了关于素数的四个基本问题。他認為这些问题「在当前的数学认识下无法解决」，后人將這些問題称之为兰道问题。这四个问题如下：

哥德巴赫猜想：是否每一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和？
孪生素数猜想：是否存在无穷多个素数p，使得p +2也是素数？
勒讓德猜想：是否在所有连续的平方数之间至少存在一个素数？
是否有无穷多个素数p，使得p −1是一个平方数？换句话说：是否有无穷多个形式为n² +1的素数？ Template:OEIS

到2020年为止，所有四个问题都未得到解决。

解答進度

哥德巴赫猜想

Template:Main article 猜想大於5的奇數都可以表示成3個質數之和的弱哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想的一個結果。1937年，蘇聯數學家伊萬·維諾格拉多夫證明了每個充分大的奇數Template:Math都可以表示成3個質數之和；^[1]2013年，秘魯數學家哈洛德·賀歐夫各特推廣此結果，並完全證明了弱哥德巴赫猜想。^[2]^[3]^[4]

陳氏定理是哥德巴赫猜想的另一個弱化形式，這定理指稱任意大的正整數Template:Math都可表示成 $2 n = p + q$ 的形式，其中Template:Math是質數而Template:Math是質數或半質數，^{[note 1]} Bordignon、Johnston和Starichkova三氏^[5]之後對山田^[6]的結果進行修正和改進，並證明了陳氏定理的明確形式：任意大於 $e^{e^{32, 7}} \approx 1.4 \cdot 1 0^{69057979807814}$ 的偶數，都可表示成一個質數和一個至多是兩個質數的乘積的自然數的和。

在假定狄利克雷L函數上的廣義黎曼猜想成立的狀況下，Bordignon和Starichkova兩氏^[7]將這下界給改進至 $e^{e^{15.85}} \approx 3.6 \cdot 1 0^{3321634}$ ；另外Johnston和Starichkova兩氏在將「至多是兩個質數的乘積的自然數」換成「至多是369個質數的乘積的自然數」的前提下，給出了一個對任意 $4 \leq n$ 都成立的版本，在廣義黎曼猜想成立的狀況下，可將369降至33。^[8]

Template:Link-en和Template:Link-en兩氏證明了說不能表示成兩個質數的和的例外偶數的自然密度為零，但目前未能證明說這集合是有限的。^[9]

目前對這例外集合大小最好的結果為對充分大的Template:Math而言，有 $E (x) < x^{0.72}$ ，由Template:Link-en得出；^[10]^[11]而在假定黎曼猜想成立的狀況下，Template:Link-en證明了說 $E (x) ≪ x^{0.5} \log^{3} x$ 。^[12]

Template:Link-en證明了說足夠大的偶數可表示成兩個質數和（某個非有效的）Template:Math個2的冪的總和。^[13]在做了許多改進後，Template:Link-en和Template:Link-en兩氏^[14]證明了說 $K = 8$ ，且在廣義黎曼猜想成立的狀況下可將之改進至 $K = 7$ 。^[15]^{[note 2]}

孿生質數猜想

Template:Main article 2013年張益唐^[16]證明了說有無限多對質數，其彼此的間隙小於七千萬，之後在Template:Tsl的合作者努力下，這數值降至246。^[17]

在廣義Template:Link-en成立的狀況下，可藉由詹姆斯·梅納德^[18]和Template:Link-en、Template:Link-en和Template:Link-en三氏^[19]的結果，將這數值改進至6。

1966年陳景潤證明了說有無限多個質數Template:Math，使得Template:Math是質數或半質數。這類的質數後來被人稱為陳質數。

勒讓德猜想

Template:Main article 可以驗證說，Template:Math的質數間隙小於 $2 \sqrt{p}$ 。利用最大質數間隙表，可知此猜想對至少大到 $2^{64} \approx 1.8 \times 1 0^{19}$ 的質數成立。^[20]一個接近如此大小的反例，其質數間隙至少是平均間隙的一億倍。

在改進Heath-Brown^[21]和Matomäki^[22]結果的基礎下，Järviniemi^[23]證明了說至多只有 $x^{7 / 100 + ε}$ 個例外質數，會出現在大於 $\sqrt{2 p}$ 的質數間隙之後；特別地，以下關係式成立：

\sum_{\overset{p_{n + 1} - p_{n} > {\sqrt{p_{n}}}^{1 / 2}}{p_{n} \leq x}} p_{n + 1} - p_{n} ≪ x^{0.57 + ε} .

從Template:Link-en對質數間隙的結果可得出，對於足夠大的 $n$ 而言，在完全立方數 $n^{3}$ 及 $(n + 1)^{3}$ 之間總有一個質數。^[24]

X²+1質數

Template:Main article 蘭道的第四個問題問的是，若Template:Math是整數，是否有無限多個形如 $p = n^{2} + 1$ 的質數。（Template:OEIS link列出了有如此形式的質數）這猜想可由諸如布尼亞科夫斯基猜想和Template:Link-en等數論猜想立即推出。Template:As of為止，這問題依舊開放。

一個有如此形式質數的例子是費馬質數；另外亨里克·伊萬尼茲證明了有無限多個形如 $n^{2} + 1$ 的數，有至多兩個質因數。^[25]^[26]

Template:Link-en^[27]和Template:Link-en^[28]兩氏證明，在對Template:Link-en的L函數的擴展黎曼猜想成立的狀況下，會有無限多形如 $p = x^{2} + y^{2}$ 且 $y = O (\log p)$ 的質數。蘭道的猜想問的是更強的 $y = 1$ 的情況；而目前最好的無條件結果由Harman和Lewis兩氏所證明^[29]，其中 $y = O (p^{0.119})$ 。

在改進前人結果的基礎下，^[30]^[31]^[32]^[33]^[34]Merikoski^[35]證明了說有無限多個形如 $n^{2} + 1$ 的數，其最大的質因數的大小至少為 $n^{1.279}$ 。^{[note 3]}將指數項改進為2即可證明蘭道的猜想。

Template:Link-en指出有無限多的質數可表成 $a^{2} + b^{4}$ 的形式。^[36]

Baier和趙兩氏^[37]證明說有無限多形如 $p = a n^{2} + 1$ 的質數，其中 $a < p^{5 / 9 + ε}$ 。在廣義黎曼猜想成立的狀況下，Template:Math指數項的部分可改進至 $1 / 2 + ε$ ，且在特定類似Template:Link-en的猜想成立的狀況下可改進至 $ε$ 。

利用布朗篩法可得出說形如 $p = n^{2} + 1$ 的質數的密度的上界：對於不大於 $x$ 的數而言，至多有 $O (\sqrt{x} / \log x)$ 形如X²+1的質數。因此幾乎所有形如X²+1的數都是合成數。

參見

註解

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參考資料

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外部連結

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