布尼亚科夫斯基猜想

Template:Unreferenced 布尼亚科夫斯基猜想是由俄罗斯数学家Template:Link-en于1857年提出的觀點，以判定單變數的整係數多項式$f(x)$的序列中是否會出現無限個質數。以下三个条件是$f(x)$滿足前述造出無限質數的必要條件：

1. 首項係數为正，
2. 多项式在整数上是不可约的，
3. $f(1),f(2),f(3),\dots$的公因數為$1$。

而布尼亚科夫斯基猜想这些条件就足够了：也就是說如果$f(x)$滿足前面3點條件，則存在無限多個正整數$n$使$f(n)$是質數。

三个条件的討論

第一个条件是必要的，因为如果首項系数是负的那么對所有夠大的$x$都有$f(x)<0$，特別的，對夠大的正整數$n$都有$f(n)$是負數，從而非質數。（这裡需要有素数为正的約定。 ）

第二个条件是必要的，因为如果$f(x)=g(x)\times h(x)$，其中$g(x)$，$h(x)$都是整係數多項式，那麼由於$g(x)$和$h(x)$都只能有限次的等於-1，0，1，因此$f(x)$都有可能會是合數。

第三个条件是必要的，這也是顯而易見的。

參見

• X²+1質數
• 狄利克雷定理
• 狄克森猜想
• 欣策爾假設H