全集

全集與餘集的關係，以文氏圖表示。

数学上，特别是在集合论和数学基础的应用中，全类（Universe，若是集合，则稱作全集）是一个（在某种程度上）包含了所有的研究对象和集合的类。

在特定场合下

这个一般概念有數個精确的版本。最简单的情況下可以將任意集合$U$定義成全集，只要研究的對象都是其子集。若研究实数，则所有实数的集合实数线$ℝ$就是全集。在1870年代和1880年代，康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以應用於实分析，這時他默认地使用著的全集就是实数线$ℝ$。康托尔一开始关心的也只是$ℝ$的子集。

这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中，所有的操作按例都是在一个表示全集$U$的大长方形內進行。集合通常表示为圆形，但这些集合只能是$U$的子集。集合$A$的补集则为长方形中表示$A$的圆形的外面的部分。严格地说，这是$A$对$U$的相对补集'$U\mathrm{\setminus }A$；但在$U$是全集的场合下，这可以被当成是$A$的绝对补集'$A^C$。同样的，有一個稱為空交集的概念，即零个集合的交集（指没有集合，而不是空集）。要是没有全集，空交集就會是所有东西组成的集合，这一般被认为是不可能的；但有了全集，空交集可以被当成是有条件（即$U$）下的所有东西组成的集合。

在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时，这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此，例如新基础集合论，这里所有集合的类并不是布尔格，而仅仅是相对有补格。相反，$U$的幂集，即$U$的所有子集组成的集合，是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算；而空交集$U$则作为布尔格中的最大元（或空交）。这里，适用于补运算、交运算和并运算（集合论中的并集）的德·摩根律成立，而且对空交和空并（即空集）也成立。

在一般数学中

然而，當考虑過给定集合$X$的子集（在康托尔的例子中，$X=ℝ$），可能就会进一步关心$X$的子集组成的集合。 （例如：$X$上的一个拓扑就是一个$X$的子集组成的集合。） 这些不同的$X$的子集组成的集合本身，一般而言并不是$X$的子集，却是$X$的幂集$𝐏X$的子集。当然，这还没有完；可以进一步考虑$X$的子集组成的集合所组成的集合，等等。另一个方向是：可以考慮笛卡尔积$X\times X$，或从$X$映射到其自身的函数。接著，還可以考慮笛卡尔积上的函数，或从$X$映射到$X\times \mathrm{P}X$的函数，等等。

这样，尽管主要关心的是$X$，仍然需要一个比$X$大很多的全集。顺着上面的思路，可能需要$X$上的超结构。这可以通过结构递归来定义，如下：

• 设${𝐒}_{0}X$为$X$自身。
• 设${𝐒}_{1}X$为$X$和$𝐏X$的并集。
• 设${𝐒}_{2}X$为${𝐒}_{1}X$和$𝐏({𝐒}_{1}X)$的并集。
• 一般的，设${𝐒}_{n+1}X$为${𝐒}_{n}X$和$𝐏(S_{n}X)$的并集。则$X$上的超结构，写作$𝐒X$，为${𝐒}_{0}X$，${𝐒}_{1}X$，${𝐒}_{2}X$，等等，的并集；或

$𝐒X:=\bigcup _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{𝐒}_{i}X\text{.}$

注意到，无论初始集合$X$如何，空集总是属于${𝐒}_{1}X$。重定义空集为冯·诺伊曼序数$[0]$。则$\{[0]\}$，是仅含有空集為元素的集合，属于${𝐒}_{2}X$；定义为冯·诺伊曼序数$[1]$。类似的，$\{[1]\}$属于${𝐒}_{3}X$，则$\{[0]\}$和$\{[1]\}$的并集$\{[0],[1]\}$也属于该集合；定义为冯·诺伊曼序数$[2]$。重复这个过程，所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后，若$x$和$y$属于这个超结构，则$\{\{x\},\{x,y\}\}$（这个集合表示了有序对$(x,y)$）也属于它。从而，这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且，这个超结构也包含各种函数和关系，因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及，还能够得到有序 n元组，表示定義域为冯·诺伊曼序数$[n]$的函数。等等。

所以，就算仅从$X=\{\}$出发，也可以构造大量的用于数学研究的集合，它们都是在{}上的超结构裡的某個元素。但是，這樣$𝐒\{\}$的每个元素都會是有限集合。每个自然数都属于$𝐒\{\}$，但“所有”自然数的集合$\mathbb{N}$不属于$𝐒\{\}$（尽管它是$𝐒\{\}$的“子集”）。实际上，$X$上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样，它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下，假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克當時能使用到这个全集的話；他會相信每个自然数都存在，而集合$\mathbb{N}$（一个"完全的无穷大"）則不然。

然而，对一般的数学家（它们不是有限主义者）来说，$𝐒\{\}$是不足够的，因为尽管$\mathbb{N}$是$𝐒\{\}$的子集，但$\mathbb{N}$的幂集仍然不是。特别的，任意的实数集合都不是。所以，需要重新开始这个过程，来构造$𝐒(𝐒\{\})$。不過，為简单起见，就只用给出的自然数集合$\mathbb{N}$来构造$𝐒\mathbb{N}$，即$\mathbb{N}$上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指，一般研究的所有數學物件，都已作為这个全集的元素而包含其中。例如：任何通常的实数的构造方式（比如通過戴德金分割）都會属于$𝐒\mathbb{N}$。即使是非标准分析，也能够在自然数的一個非标准模型上的超结构中进行。

應當注意，这個部分在觀念上有些改变，这裡全集是任何被关心的集合$U$。上个部分中，被研究的集合是全集的子集；而现在，它们是全集的元素。这样尽管$𝐏(𝐒X)$是一个布尔格，但相应的$𝐒X$不是。因此，几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集；在上个部分中，它们被用来描述幂集式的全集。作为替代，可以采用独立的布尔格$𝐏A$，这里$A$是$𝐒X$中任意相应的集合；则$𝐏A$是$𝐒X$的子集（实际上它属于$𝐒X$）。

在集合论中

正式來說，可以給出一個精确定义，來說明為何$𝐒\mathbb{N}$为一般數學的全集；这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学，完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作，特别是模型论，是不够的。举一个戏剧性的例子：上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成！ 最后一步，构造$𝐒$成为一个无限并集，需要代换公理；这条公理在1922年被加入策梅洛集合论，成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以，尽管一般数学可以在$𝐒\mathbb{N}$中进行，对$𝐒\mathbb{N}$的讨论則不再"一般"，而是轉向元数学的領域。

但是，若在超级的集合论中，可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到$X=\{\}$（空集），并用（标准的）符号$V_i$表示${𝐒}_i\{\}$。则有$V_0=\{\}$，$V_1=𝐏\{\}$，等等，和前面一样。但是，所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项：$V_{\omega }$，这里$\omega$为第一个无穷序数。按照序数知识，得到：

$V_i:=\bigcup _{j<i}𝐏V_j$

可以对任意序数$i$定义$V_i$。所有$V_i$的并集为冯·诺伊曼全集$V$：

$V:=\bigcup _i{V}_i$。注意，每个单独的$V_i$都是集合，但他们的并集$V$是一个真类。跟代换公理差不多时候加入ZF系统的正则公理斷言，每个集合都属于$V$。

参见

• 自由对象

参考书目

• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag New York, Inc.

外部链接

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