菲鲁兹巴赫特猜想

質數間隙函數

在數論中，菲鲁兹巴赫特猜想（Firoozbakht's conjecture 或 Firoozbakht conjecture）是數學上關於質數分布的一個猜想。該猜想以伊朗數學家Template:Link-en的名字命名，她於1982年提出此猜想。

該猜想聲稱，$p_n^{1/n}$是一個嚴格遞減函數（其中$p_n$是第$n$個質數），也就是說

$\sqrt[n+1]{p_{n+1}}<\sqrt[n]{p_n}\text{ for all }n\ge 1.$

或等價地

$p_{n+1}<p_n^{1+\frac{1}{n}}\text{ for all }n\ge 1,$

相關內容可見Template:OEIS2C及Template:OEIS2C。

藉由使用最大質數間隙（maximal gap）表，法丽德·菲鲁兹巴赫特確認她的猜想對大到$4.444\times 10^{12}$的數都成立。利用廣度更大的最大質數間隙表，目前已知該猜想對任何小於$2^{64}\sim 1.84\times 10^{19}$的質數都成立。

若此猜想成立，那麼質數間隙函數$g_n=p_{n+1}-p_n$會滿足下列關係：

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n\text{ for all }n>4.$

此外，

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n-1\text{ for all }n>9,$

對此可見Template:OEIS2C。

該猜想是對質數間隙上界最強的猜想之一，甚至比克拉梅爾猜想和尚克斯猜想（Shanks' Conjecture）還強。從該猜想可推出強克拉梅爾猜想，而這與Template:Link-en、Template:Link-hu和Template:Link-en等人的直觀猜測不一致。而這些人的直觀猜測認為，對任意的$\epsilon >0$下式對無限多的數成立：

$g_n>\frac{2-\epsilon }{e^{\gamma }}(\log p_n{)}^2\approx 1.1229(\log p_n{)}^2,$

其中$\gamma$是歐拉-馬斯刻若尼常數。

兩個相關的猜想（可見Template:OEIS2C的討論）如下：

比菲鲁兹巴赫特猜想來得弱的猜想：

${\left(\frac{\log (p_{n+1})}{\log (p_n)}\right)}^n<e,$

比菲鲁兹巴赫特猜想來得強的猜想：

${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<n\log (n)\text{ for all }n>5,$

參見

• 質數定理
• 安德里卡猜想
• 勒讓德猜想
• 奥珀曼猜想
• 克拉梅爾猜想

參考資料

• Template:Cite book
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