安德里卡猜想

Template:Multiple image 安德里卡猜想（Andrica's conjecture）是關於質數間的間隙的猜想，以罗马尼亚数学家Template:Link-es的名字命名。

該猜想認為，對於任意的$n$，下述不等式成立：

$\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}<1$

其中$p_n$是第$n$個質數。若$g_n=p_{n+1}-p_n$是第$n$個質數間隙，那麼安德里卡猜想可表述如下：

$g_n<2\sqrt{p_n}+1$

實證證據

伊姆兰·戈里（Imran Ghory）用了大質數間隙的資料，證實了該猜想對大到$1.3002\times 10^{16}$的$n$都成立。利用最大質數間隙（maximal gap）和質數間隙不等式，可將此結果推廣到大到$4\times 10^{18}$的$n$之上。

離散方城$A_n=\sqrt{p_{n+1}}-\sqrt{p_n}$呈遞減，其中$A_n$的「高水位」標記，出現在$n=1,2,4$之處，其中$A_4\sim 0.670873...$，而對於最初的$10^5$個質數而言，沒有比這更大的值。由於$A_n$該方程對$n$呈現非病態遞減之故，因此若要在$n$不斷變大的情況下使得這個差變大，一個不斷增長的質數間隙是必要的。故該猜想非常可能是正確的，但目前還沒有證明。

推廣

廣義安德里卡猜想對最初100個質數的Template:Mvar的值，並標出Template:Mvar的最小可能解$x_{min}$的推測位置。

安德里卡猜想的推廣會論及以下等式：

$p_{n+1}^x-p_n^x=1,$

其中$p_n$是第$n$個質數，而Template:Mvar是任意正實數。

易證Template:Mvar的最大可能解出現於$n=1$處，在此處，$x_{max}=1$；而有猜想認為，Template:Mvar的最小可能解出現於$n=30$處，在此處，$x_{min}\sim 0.567148...$。Template:OEIS

該猜想也可以不等式表述，因此廣義安德里卡猜想可表述如下：

對於$x<x_{\min }$而言，$p_{n+1}^x-p_n^x<1$

參見

• 克拉梅爾猜想
• 勒讓德猜想
• 菲鲁兹巴赫特猜想

參考和註解

• Template:Cite book

外部連結

• Andrica's Conjecture at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture Template:Wayback at PlanetMath
• Template:MathWorld