倒數和發散

Template:Le数学中，倒數和發散的正整數集

S = {s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, \dots} \subseteq ℕ

是元素倒數的級數和發散的集合，即滿足

\frac{1}{s_{0}} + \frac{1}{s_{1}} + \frac{1}{s_{2}} + \frac{1}{s_{3}} + \dots = \infty .

下文簡稱「大集」。與之相反，倒數和收斂的集合，元素倒數和有限，下文簡稱「小集」。

例

如無另外聲明，集合皆由正整數構成。

有限集必為小集。
全體正整數集 ${1, 2, 3, 4, 5, \dots}$ 是大集。換言之，全體正整數的倒數和（稱為调和级数）發散。推而廣之，任何等差数列（即形如 ${a + n d : n \in ℤ_{\geq 0}}$ 的集合，其中 $a, d$ 皆為正整數）皆是大集。
全體平方数的集合是小集（其倒數和為 $π^{2} / 6$ ）。立方數、四次方數等亦然。更一般地，任何二次以上的正整數系數多項式取值的集合必為小集。
$2$ 的冪組成的集合 ${1, 2, 4, 8, \dots}$ 是小集。對任何等比数列（即形如 ${a r^{n} : n \in ℤ_{\geq 0}}$ 的集合，其中 $a, r$ 皆為正整數，且 $r \geq 2$ ）也有同樣的結論。
质数集已證明為大集（見素数的倒数之和）。相反，孿生質數集已證明為小集（見布朗常數），不過仍未知是否有無窮多對孿生質數。
雖然質數集為大，質數真冪（即 $p^{n}$ ，其中 $n \geq 2$ ， $p$ 為質數）的集合為小。此性質常用於解析数论。一般地，完全 $n$ 次方數的集合為小，甚至全體冪數（質因子皆高於一次的數）亦組成小集。
任意b進制下，不含某數字的數的集合也是小集。例如十進制中，不含數字7的數集 ${1, 2, \dots, 5, 6, 8, 9, \dots, 15, 16, 18, 19, \dots, 65, 66, 68, 69, 80, 81, \dots}$ 是小集。此類集合的倒數和稱為肯普納級數。
若集合的上密度非零，則必為大。

小集的子集仍是小集。
有限個小集之並仍為小，因為兩個收斂級數之和仍收斂。用集合論術語複述，即小集組成Template:Link-en。
任意小集的補集為大集。
Template:Link-en斷言，集合 $S = {s_{1}, s_{2}, s_{3}, \dots}$ 為大，當且僅當由 ${1, x^{s_{1}}, x^{s_{2}}, x^{s_{3}}, \dots}$ 線性張成的多項式集，在閉區間的連續函數空間 $C ([a, b])$ 中稠密（關於Template:Link-en拓撲）。此為斯通-魏爾施特拉斯定理的推廣。

艾狄胥提出一個著名問題，問不含任意長度等差数列的集合，是否必為小集。他為此懸賞3000美元，高於自己Template:Link-en，還開玩笑稱賞金違反最低工資法。^[1]後來，懸賞升至5000美元。^[2]截至2021年，問題仍然未解。

一般地，給定某集合的定義，很難分辨該集合是大是小。仍有許多集合的倒數和未知是否收斂。