循序可测过程

在数学中，循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格Template:R。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。

定义

设有

• 概率空间$(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$；
• 测度空间$(𝕏,𝒜)$，状态空间；
• σ-代数$ℱ$上的参考族$\{{ℱ}_t|t⩾0\}$；
• 随机过程$X:T=[0,\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }\to 𝕏={\left(X_t\right)}_{t\in T}$（指标集$T$也可以是有限时间$[0,T_0]$或离散时间$\mathbb{N}$）。

则随机过程${\left(X_t\right)}_{t\in T}$是循序可测过程当且仅当对任意的时刻$t\in T$，映射

$X|{}_{[0,t]}:[0,t]\times \mathrm{\Omega }⟶𝕏$

$(s,\omega )\mapsto X_s(\omega )$

都是 $\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}([0,t])\otimes {ℱ}_t$-可测的Template:R。${\left(X_t\right)}_{t\in T}$是循序可测过程可以推出它必然是适应过程Template:R。

子集$P\subseteq [0,\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }$是循序可测集合当且仅当指示过程：

$X_s(\omega ):={\mathrm{𝟏}}_P(s,\omega )$

是循序可测过程。所有循序可测的子集$P$构成$[0,\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }$上的一个σ-代数，一般记为$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}$。一个随机过程${\left(X_t\right)}_{t\in T}$是循序可测过程当且仅当它（在被看作$[0,\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }$上的随机变量时）是$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{g}$-可测的Template:R。

性质

• 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程Template:R。
• 设$W=(W_t(\omega );t\in T,\omega \in \mathrm{\Omega })$是一维的标准布朗运动过程，$H=(H_t(\omega );t\in T,\omega \in \mathrm{\Omega })$为关于$W$的参考族$\{{ℱ}_t^W\}$的（实值的）循序可测过程，并且满足$𝔼[\underset{T}{\int }H(t{)}^2\mathrm{d}t]<\mathrm{\infty }$，那么我们可以定义$H$关于$W$的随机积分：$\underset{T}{\int }H(t)\mathrm{d}{W}_t$Template:R，而且满足

  $𝔼\left[{(\underset{T}{\int }H(t)\mathrm{d}{W}_t)}^2\right]=𝔼[\underset{T}{\int }H(t{)}^2\mathrm{d}t].$Template:RTemplate:R。

• 一个随机过程$X=(X_t(\omega );t\in T,\omega \in \mathrm{\Omega })$的修正（Template:Lang）是指另一个随机过程$Y=(Y_t(\omega );t\in T,\omega \in \mathrm{\Omega })$，满足$\mathrm{\forall }t\in T,\mathbb{P}(X_t=Y_t)=1.$ 可以证明，尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的，但必然拥有一个循序可测的修正Template:R。

参见

• 圖模式
• 马尔可夫链
• 马尔可夫逻辑网络
• 适应过程
• 可预测过程