高斯求积

Template:Unreferenced Template:Distinguish 高斯求積，又稱高斯數值積分，（Template:Lang-en），是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。

当我们要求解某个函数的积分$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$ ，其数值解可以由$\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(x_i)$近似，其中$w_i,i=1...n$为权重。高斯求积仅当函数$f(x)$可以由在区间$[-1,1]$上的多项式近似时才能获得准确的近似解，且这种方法并不适用于函数具有奇异点的情况。于是乎，我们可以把函数$f(x)$写作$f(x)=W(x)g(x)$，其中$g(x)$是近似多项式，$W(x)$是已知的权重函数，这样我们就有

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}W(x)g(x)dx\approx \sum _{i=1}^n{w_i}^{\prime }g(x_i)$。

常用的权重函数有

$W(x)=(1-x^2{)}^{-1/2}$（高斯切比雪夫）

以及

$W(x)=e^{-x^2}$（高斯埃米特）。

高斯勒让得求积

对于上述的最简单的积分形式，即权重函数$W(x)=1$时，关联多项式为勒让得多项式$P_n(x)$，这种方法通常称为高斯勒让德求积，此时权重函数为下式，

$w_i=\frac{2}{(1-x_i^2)[{P_n}^{\prime }(x_i{)}^2]}$

$x_i$為$P_n(x)$的第$i$個根。

$P_n(x)=\prod _{1\le i\le n}(x-x_i)$

对于求解低阶积分，选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

点的数目, n	点的位置, xi	权重, wi
1	0	2
2	$\pm 1/\sqrt{3}$	1
3	0	8⁄9
	$\pm \sqrt{3/5}$	5⁄9
4	$\pm \frac{\sqrt{525-70\sqrt{30}}}{35}$	$\frac{18+\sqrt{30}}{36}$
	$\pm \frac{\sqrt{525+70\sqrt{30}}}{35}$	$\frac{18-\sqrt{30}}{36}$
5	0	128⁄225
	$\pm \frac{\sqrt{245-14\sqrt{70}}}{21}$	$\frac{322+13\sqrt{70}}{900}$
	$\pm \frac{\sqrt{245+14\sqrt{70}}}{21}$	$\frac{322-13\sqrt{70}}{900}$

变区间法则

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间$[a,b]$变换到$[-1,1]$，可利用變數變換得：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\frac{b-a}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(\frac{b-a}{2}x+\frac{a+b}{2})dx$

對應的高斯求積近似式为

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2}\sum _{i=1}^n{w}_{i}f(\frac{b-a}{2}{x}_i+\frac{a+b}{2})$

其他形式

对于如下的通用积分式来说，

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}w(x)f(x)dx$

当$a=-1$，$b=1$，$w(x)=1$时，即为上述内容。我们还可以用别的积分规则，如下表所示。

区间	ω(x)	正交多项式
[−1, 1]	$1$	勒让德多项式
(−1, 1)	$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta },\alpha ,\beta >-1$	雅可比多项式
(−1, 1)	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	切比雪夫多项式 (第一类)
[−1, 1]	$\sqrt{1-x^2}$	切比雪夫多项式 (第二类)
[0, ∞)	$e^{-x}$	拉盖尔多项式
(−∞, ∞)	$e^{-x^2}$	埃尔米特多项式