集合建構式符號

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在數學裡，集合建構式符號（Template:Lang）是常用于描述集合的一種記號，這種描述集合的方式一般也稱為集合抽象化（Template:Lang）或Template:Lang。一般寫為{x:P(x)}或{x∈S:P(x)}，分別只在於論域的不同，前者的元素恰好是那些符合謂詞P的集合，而後者的元素除了符合謂詞P，還得是S的元素。 Template:TOC limit

範例：三角形數的集合

海什木（Alhazen）的正整數和公式推導。

以三角形數的集合為例。三角形數有一個規則，它是正整數的和。

下面的每一個等式給出了三角形數集合T的一個元素：

1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
1+2+3+4+5+6=21
⋮
1+2+3+…+n=S
其中，n是正整數，S是左式的結果。

於是我們歸納出一個規則（即公式）：

1+2+3+…+n=n(n+1)2

這個規則可代表集合T中的元素。於是，集合T可以簡寫為：

T={S|S=n(n+1)2,n∈ℕ+}

在上面的簡單範例中，我們將一個繁複的集合表示法，透過一個簡單的規則，重新以簡單的符號來表示這個集合。

集合建構式與一階邏輯

當一個集合的元素是用某種公式或條件（亦即，一個函數）所產生，這時候就可以用集合建構式來表示，例如：

  • 偶數集合 = {x:x是2的倍數}
  • 負數集合 = {x:x是小於0的數}

就哲學上來說，這些元素具有某種共同的性質（2的倍數，或是小於0）；在一階邏輯中，這個性質可以使用謂詞來表示，而該集合的一般格式為：

A={x:P(x)}

以偶數集合為例，其謂詞P=「是2的倍數」。P(x)=「x是2的倍數」，被稱為一個命題函數。

集合A的元素必定是另一個集合B的元素x，使得P(x)為真（亦即，A是B的一個子集），一般表述為：

A={x:x∈B,P(x)}或是A={x∈B:P(x)}

在這裡，P是謂詞，x是主詞（B集合中的一個元素），P(x)是一個傳回真假值的命題函數：

P:B→{true,false}

所以，在數學中，謂詞被視為一種布林值函數。

在實例中，如果沒有指定B集合，就表示B集合是由謂詞P所給出。

集合建構式例句

  • 正整數集合可用下列建構式表示：
    • {x:x是大於0的整數}
    • {x:x>0∧x∈ℤ}
  • 偶數集合可用下列建構式表示：
    • {x:x是2的倍數}
    • {x:x=2k,k∈ℤ}
  • 負數集合可用下列建構式表示：
    • {x|x是小於0的數}
    • {x|∀x∈ℝ,x<0}
    • {x∈ℝ|x<0}
  • 平方數集合可用下列建構式表示：
    • {x|x是某個整數的平方}
    • {x:x=k2;k∈ℤ}
    • {x2:x∈ℤ}
    • {x∈ℕ:∃k∈ℤ s.t. k2=x}

在這裡，有幾個習慣用法：

  • 冒號和豎線是一樣的，意思是「使得（such that，簡寫為s.t.）」。一般來說，冒號與豎線只使用在最前面，接下來的「使得」都使用別的符號，例如s.t.或是∋。但是偶爾也會看到這樣的句子，奇數：
{n∈ℤ:∃k∈ℤ:n=2k+1}
另一個更簡潔的句子可以表達相同的意思：
{2n+1:n∈ℤ}
  • 一般來說，∀是省略不寫的，但是偶爾會看到使用∀的句子。一個複雜的例句如下，非平方數：
{x∈ℕ:∀k∈ℤ,k2≠x}

参见

外部链接

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