三角形數

一定数目的点或圆在等距離的排列下可以形成一个等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數。比如10個點可以組成一个等邊三角形，因此10是一個三角形數：

頭30個三角形數是Template:數列...Template:OEIS。

三角数的二倍的平方根取整，是这个三角数的序数。

性質

第n个三角形數的公式是 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 。
第n个三角形數是從1开始的n个自然数的和。
所有大于3的三角形數都不是质数。
Template:Fact
开始的n个立方数的和是第n个三角形數的平方（举例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 10²）
所有三角形數的倒数之和是2。
任何三角形數乘以8再加1是一个平方数。
三角數的個位數字不可能是2、4、7、9，數字根不可能是2、4、5、7、8。
一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下这个公式来表示： $n * (2 n + 1)$ ；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）则可以用 $n * (2 n - 1)$ 来表示。
一种检验正整数x是否三角形数的方法，是计算：
$n = \frac{\sqrt{8 x + 1} - 1}{2} .$

如果n是整数，那么x就是第n个三角形数。如果n不是整数，那么x不是三角形数。这个检验法是基于恒等式 $8 T_{n} + 1 = S_{2 n + 1} .$

55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
第11个三角形數（66）、第1111个三角形數（617,716）、第111,111个三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111个三角形數（61,728,399,382,716）都是回文式的三角形數，但第111个（6,216）、第11,111个（61,732,716）和第1,111,111个（617,284,382,716）三角形數不是。
同時為三角形數及普洛尼克數的數（不定方程 $x (x + 1) = \frac{y (y + 1)}{2}$ ）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[1]^[2]，對應的 $x$ 值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……Template:OEIS，對應的 $y$ 值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……Template:OEIS。