電磁波方程式

Template:NoteTA 在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階Template:Link-en。這方程式的形式，以電場$𝐄$和磁場$𝐁$來表達為

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐄=0$、

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐁=0$；

其中，${\mathrm{\nabla }}^2$是拉普拉斯算符，$c$是電磁波在真空或介質中傳播的速度，$t$是時間。

由於光波就是電磁波，$c$也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏，$c=c_0=299,792,458$ ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

歷史

Template:Seealso 在詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說 ： Template:Quotation

理論推導

在真空裏，麦克斯韦方程組的四個微分方程式為

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0$、(1)

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$、(2)

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$、(3)

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$；(4)

其中，${\mu }_0$是真空磁導率，${\epsilon }_0$是真空電容率。

分別取公式(2)、(4)的旋度，

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=-{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{{\partial }^2𝐄}{\partial t^2}$、

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐁)={\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=-{\mu }_o{\epsilon }_o\frac{{\partial }^2𝐁}{\partial t^2}$。

應用一則向量恆等式（這裏，${\mathrm{\nabla }}^2𝐕$應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐕)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐕)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐕$；

其中，$𝐕$是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式：

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐄=0$、(5)

$({\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})𝐁=0$；(6)

其中，$c=c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\epsilon }_0}}=2.99792458\times 10^8$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式

電磁四維勢$A^{\mu }$是由電勢$\varphi$與矢量勢$𝐀$共同形成的，定義為

$A^{\mu }\stackrel{def}{=}(\varphi /c,𝐀)$。

採用勞侖次規範：

$\frac{\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}=0$。

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為

$◻A^{\mu }=0$；

其中，$◻={\partial }^{\nu }{\partial }_{\nu }=\frac{{\partial }^2}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。

彎曲時空中的齊次的波動方程式

齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正，分别是將偏导数替换为协变导数，以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

${A^{\mu }}_{;\mu }\stackrel{def}{=}\frac{\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}=0$。

那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為

$-{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }{A}^{\beta }=0$；

其中，${R^{\alpha }}_{\beta }$是里奇曲率张量。

非齊次的電磁波方程式

Template:Main 追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解

Template:Main 在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^{2}f=0$；(7)

其中，$f$是任意良態函數，

純量波動方程式的一般解的形式為

$f(𝐫,t)=g(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)$；

其中，$g(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)$是任意良態函數，$𝐫$是位置向量，$t$是時間，$𝐤$是波向量，$\omega$是角頻率。

函數$g(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)$描述一個波動，隨著時間的演化，朝著$𝐤$的方向傳播於空間。將函數$g(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)$代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：

${\omega }^2=c^2{k}^2$，

或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：

$\omega =c|k|$。

正弦波

正弦函數和餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。

假設，函數$g$的波形為正弦波：

$f=f_0\cos (𝐤\cdot 𝐫-\omega t+{\varphi }_0)$；

其中，$f_0$是實值波幅，${\varphi }_0$是初相位。

根據歐拉公式，

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$，

函數$f$也可以表達為一個複數的實值部分

$f=\mathrm{Re}\{f_0{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t+{\varphi }_0)}\}$。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數$\tilde{f}$為

$\tilde{f}=f_0{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t+{\varphi }_0)}={\tilde{f}}_0{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$；

其中，${\tilde{f}}_0=f_0{e}^{i{\varphi }_0}$是複值波幅。

那麼，

$f=\mathrm{Re}\{\tilde{f}\}$；

純量波動方程式的正弦波解的形式為$\tilde{f}$的實值部分。任意涉及實函數$f$的線性方程式，都可以用複函數$\tilde{f}$來代替$f$。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

線性疊加

任意波動$f(𝐫,t)$可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

$f(𝐫,t)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\tilde{f}}_0(𝐫,\omega )e^{-i\omega t}d\omega$。

所以，只要能得知單獨頻率的波動${\tilde{f}}_0(𝐫,\omega )$（單色波）的表達式，就可以求算整個波動$f(𝐫,t)$的表達式。

齊次的電磁波方程式的解

單色正弦平面波的解

電磁波是橫波，電場方向與磁場方向相互垂直，又都垂直於傳播方向。

Template:Main 從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

$\widetilde{𝐄}(𝐫,t)={\widetilde{𝐄}}_0{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$、

$\widetilde{𝐁}(𝐫,t)={\widetilde{𝐁}}_0{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}$；

其中，${\widetilde{𝐄}}_0$、${\widetilde{𝐁}}_0$分別為複值電場$\widetilde{𝐄}$和複值磁場$\widetilde{𝐁}$的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是$𝐤$的方向。由於方程式(1)和(3)，

$𝐤\cdot \widetilde{𝐄}(𝐫,t)=𝐤\cdot {\widetilde{𝐄}}_0=0$、

$𝐤\cdot \widetilde{𝐄}(𝐫,t)=𝐤\cdot {\widetilde{𝐁}}_0=0$，

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，

$\mathrm{\nabla }\times \widetilde{𝐄}=\left(\mathrm{\nabla }{e}^{i(𝐤\cdot 𝐫-\omega t)}\right)\times {\widetilde{𝐄}}_0=i𝐤\times \widetilde{𝐄}=-\frac{\partial \widetilde{𝐁}}{\partial t}=i\omega \widetilde{𝐁}$。

將角頻率與波數的色散關係式$\omega =ck$帶入：

$\widetilde{𝐁}=\frac{𝐤}{\omega }\times \widetilde{𝐄}=\frac{1}{c}\widehat{𝐤}\times \widetilde{𝐄}$。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜分解

電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

$𝐄(𝐫,t)={𝐄}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)$、

$𝐁(𝐫,t)={𝐁}_0\cos (\omega t-𝐤\cdot 𝐫+{\varphi }_0)$。

波向量與角頻率的關係為

$k=|𝐤|=\frac{\omega }{c}=\frac{2\pi }{\lambda }$；

其中，$\lambda$是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

圓柱對稱性解

原柱對稱形共軸傳輸線

如圖右，思考一條由半徑為$a$的無窮長的直導線，和半徑為$b$的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸$E_z=0$和$B_z=0$的電磁橫波，採用圓柱坐標$(s,\varphi ,z)$，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為

$𝐄(𝐫,t)=\frac{{𝐄}_0}{s}\cos (kz-\omega t)\hat{s}$、

$𝐁(𝐫,t)=\frac{{𝐄}_0}{cs}\cos (kz-\omega t)\hat{\varphi }$。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

球對稱性解

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩$m=m_0\cos (\omega t)$。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標$(r,\theta ,\varphi )$，則在離原點很遠的位置$𝐫$，電場和磁場分別為

$𝐄(𝐫,t)=\frac{{𝐄}_0\sin \theta }{r}[\cos (kr-\omega t)-\frac{1}{kr}[\sin (kr-\omega t)]\hat{\varphi }$、

$𝐁(𝐫,t)=-\frac{{𝐄}_0\sin \theta }{cr}[\cos (kr-\omega t)-\frac{1}{kr}[\sin (kr-\omega t)]\hat{\theta }$。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱

理論與實驗

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• 電磁輻射
• 電磁場的數學表述
• 偏導
• 光學

• 推遲勢
• 傑斐緬柯方程式
• 相對論
• 量子電動力學
• 雙縫實驗中光子的動力學

應用領域

• 彩虹
• 宇宙微波背景輻射
• 雷射
• 核融合
• X-射線
• 雷達

• 天線
• 光子學
• 微波爐
• 全像攝影
• 顯微鏡
• 望遠鏡

參考文獻

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• Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
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